Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Военное дело Сферическая система координат.
просмотров - 1103

z

P

r

j

0 q x

y

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

Окончательно получаем:

Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

y

y = j(x)

S

y = f(x)

a b x

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4;

x + y – 2 = 0.

Построим графики заданных функций:

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

2) Вычисление площадей в полярных координатах.

3) Вычисление объемов тел.

Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),

а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело принято называть цилиндроид.

z

z = f(x, y)

x1 y1 x2

x

y2

y

V =

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Пределы интегрирования: по оси ОХ:

по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;

4) Вычисление площади кривой поверхности.

В случае если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

В случае если поверхность задана в неявном виде, ᴛ.ᴇ. уравнением z = j(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

5)Вычисление моментов инœерции площадей плоских фигур.

Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инœерции этой фигуры находятся по формулам:

- относительно оси Ох:

- относительно оси Оу:

- относительно начала координат: - данный момент инœерции называют еще полярным моментом инœерции.

6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента площади).

7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

В случае если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:

при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные.

8) Координаты центра тяжести тела.

9) Моменты инœерции тела относительно осœей координат.

10) Моменты инœерции тела относительно координатных плоскостей.

11) Момент инœерции тела относительно начала координат.

В приведенных выше формулах п.п. 8 – 11 r – область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема

- в декартовых координатах: dv = dxdydz;

- в циллиндрических координатах: dv = rdzdjdq;

- в сферических координатах: dv = r2sinjdrdjdq.

12) Вычисление массы неоднородного тела.

Теперь плотность w – величина переменная.


Читайте также


  • - Сферическая система координат.

    j x j q r z y Сферические координаты j, r, q. x = r sinq cosj y= r sinq sinj z = r cosq. Вычислим якобиан Пример. Найти массу части шара (с центром в начале координат, радиусом R), находящейся в первом октанте, если плотность вещества шара... [читать подробенее]


  • - Сферическая система координат.

    Цилиндрическая система координат. Вводятся цилиндрические координаты r, j, h. x = r cosj, y = r sinj, z = h. Вычислим якобиан Пример Вычислить объем пространственного тела, заключенного между цилиндрической поверхностью и эллиптическим параболоидом .. j x ... [читать подробенее]


  • - Сферическая система координат и ее базис

    Координатные поверхности сферической системы координат: сферы с центром в точке , круговые полуконусы с осью симметрии , полуплоскости, проходящие через ось . Координатные линии: лучи, выходящие из точки , меридианы на сфере, параллели на сфере. Вспомним формулы... [читать подробенее]


  • - Сферическая система координат.

    Сферическими координатами точки М(x;y;z) в пространстве Оxyz называется тройка чисел &... [читать подробенее]


  • - Сферическая система координат.

    Сферическими координатами точки М(x;y;z) в пространстве Оxyz называется тройка чисел &... [читать подробенее]