Категории
Непрерывные преобразования Фурье и Лапласа
Спектры непериодических сигналов конечной длительности (финитных), зарегистрированных на интервале Т, бывают получены из уравнений для рядов Фурье как предельные значения функций суммирования при расширении периода Т до бесконечности.
Зададим периодическую последовательность импульсов и разложим импульс на одном периоде Т в ряд Фурье (формула 4.2). Не меняя положения импульса на интервале Т, увеличим его значение в два раза (Т'=2T, продлеваем интервал нулями). При этом выражение (4.2) для вычисления спектра остается без изменения, но шаг по частоте уменьшаются в 2 раза (Dw’=2p/T’=p/T) и, соответственно, рассчитывается в 2 раза большее количество гармоник. Новые гармоники располагаются в интервалах между гармониками для периода Т, при этом за счет множителя 1/Т' значения всех гармоник для периода Т' в 2 раза меньше, чем для гармоник периода Т. Пример изменения спектра при увеличении периода Т в 2 раза приведен на рис. 4.11.
Рис. 4.11
Процесс можно продолжить дальнейшим последовательным увеличением периода, при этом спектр будет приближаться к непрерывной функции. В пределе, при T ® ¥, расстояние между гармониками уменьшается до Dw → dw, дискретные частоты nDw обращаются в непрерывные текущие значения, а суммирование амплитудных значений заменятся интегрированием. При этом фазовый и амплитудный спектр становятся непрерывными, а сами значения спектра становятся бесконечно малыми (1/Т = dw/2p ® 0). Для исключения последнего уравнение для спектра нормируем на dw/2p:
S'(w) = (dw/2p)
s(t) exp(-jwt) dt → S'(w) 2p/dw =s(t) exp(-jwt) dt = S(w),
где S(w) из значений спектра S'(w) превращается в плотность распределения значений спектра, и возвращаем нормировку при восстановлении сигнала по спектру:
s(t) = (dw/2p)
S(w) exp(jnDwt) → (1/2p)
S(w) exp(jwt) dw.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, интегральное преобразование Фурье приобретает следующий вид:
s(t) = (1/2p)S(w) exp(jwt) dw, (4.10)
S(w) =s(t) exp(-jwt) dt. (4.11)
Формулу (4.11) обычно называют формулой прямого преобразования Фурье, а формулу (4.10) – обратного преобразования Фурье. Этими выражениями устанавливается взаимно однозначная связь сигнала и его спектра в последовательной полосе малых (стремящихся к нулю) полосах частот. Эту величину называют спектральной плотностью сигнала. Спектральные функции содержат ровно столько информации, сколько и исходный сигнал.
При преобразовании сигнала в пространство гармонических частот и обратно формулы прямого и обратного преобразований Фурье тождественны за исключением знака аргументов экспоненты:
s(t) =S(f) exp(j2pft) df, (4.10')
S(f) =s(t) exp(-j2pft) dt. (4.11')
На рис. 4.12 сплошной кривой приведен пример непрерывного сигнала s(t), энергия которого сосредоточена на конечном интервале T = (0,25). В случае если нас не интересует форма данного сигнала за пределами интервала Т, то спектр сигнала в виде ряда Фурье можно определить по формуле (4.2). При обратном преобразовании Фурье по формуле (4.1), ᴛ.ᴇ. при восстановлении сигнала по его спектру, в интервале Т будет восстановлен исходный сигнал s(t). Но если интервал для восстановления будет задан больше интервала Т, к примеру равным 0-2Т, то за пределами этого интервала начнется периодическое повторение исходного сигнала, как это показано пунктиром на рис. 4.11. В случае если такой процесс нежелателен и за пределами интервала Т должны быть сохранены нулевые значения сигнала, то крайне важно использовать интегральное преобразование Фурье (4.10, 4.11). При этом следует учитывать особенности интегрального преобразования.
Рис. 4.12
Спектральная функция S(w) представляет собой комплексную спектральную плотность сигнала, непрерывную на частотном интервале от - ¥ до ¥. В случае если s(t) – вещественная функция, то спектр этой функции является сопряжено симметричным относительно нулевой частоты
S(-w) = S*(w)
и содержит четную действительную и нечетную мнимую части:
S(w) = A(w) - jB(w), (4.12)
A(w) =s(t)cos(wt) dt, (4.13)
B(w) =s(t)sin(wt) dt. (4.14)
Как и в случае рядов Фурье, вещественные четные функции имеют вещественный четный спектр, представленный только спектральной функцией A(w), а вещественные нечетные – нечетный и только мнимый спектр, представленный спектральной функцией B(w).
Пример спектральной функции S(f) для сигнала s(t) на рис. 4.12 приведен на рис. 4.13. Как правило, графическое отображение спектральных функций выполняется в виде модуля и аргумента спектральной функции (амплитудного и фазового спектра), приведенных на рис. 4.14.
Рис. 4.13 Рис. 4.14
Такое представление аналогично (4.1.3') для АЧХ и ФЧХ сигналов:
R(w) = 
, (4.15)
j(w) = arctg(-B(w)/A(w)), (4.16)
но в отношении функции модуля также имеет смысл спектральной плотности модуля.
Сопряженная симметричность спектральной функции позволяет в формулах (4.10)-(4.11) менять местами знаки аргументов в экспонентах, при этом изменяется только знак мнимой части и аргумента спектра.
Еще раз подчеркнем различие между спектрами и спектральными функциями сигналов. При практическом использовании формулы (4.11) для вычисления спектральных функций конечных сигналов, заданных на определенном интервале Т, пределы интегрирования устанавливаются по границам интервала Т. Нет крайне важности выполнять интегрирование в бесконечных пределах, если за пределами интервала Т нулевые значения сигнала. При этом при сравнении формулы (4.11) с выражением (4.1.2) можно видеть, что значения интеграла (4.11) не нормируются на величину интервала Т. Отсюда следует, что числовые отсчеты значений модуля функции S(w) для определенных значений wi не являются амплитудными значениями соответствующих гармонических колебаний с частотой wi. Значения S(w) по сравнению со значениями функции S(nDw) по (4.1.2) завышены на множитель Т. Это можно объяснить тем, что обратное преобразование Фурье по (4.1.1) представляет собой прямое суммирование гармоник с соответствующими амплитудами колебаний, в то время как интегрирование по (4.10) представляет собой предельное суммирование значений S(w)×dw, где dw = 2p/T (или, в обычном частотном представлении, df = 1/T) при Т Þ ¥.
Что касается спектра фазовых углов, то значения по (4.16) и по (4.12') при nDw = wi полностью совпадают, так как их вычисление производится по отношению мнимой и действительной части спектра, наличие (или отсутствие) постоянного множителя в которых не меняет значение отношения.
Тригонометрическая форма интеграла Фурье (при объединении комплексно сопряженных частей спектральных функций):
s(t) = (1/2p)[A(w)cos(wt)+B(w)sin(wt)] dw. (4.17)
s(t) = (1/2p)R(w)cos(wt - j(w)) dw. (4.17')
Прямое и обратное преобразование Фурье подобны. Любая теорема, доказанная для прямого преобразования Фурье, справедлива и для обратного преобразования, и наоборот. Это непосредственно следует из выражений прямого и обратного преобразования Фурье, которые различаются только знаком в экспоненте. Особенно наглядно (см. рис. 4.15) это видно для четных сигналов (заданных функциями, симметричными относительно t = 0), для которых В(w) = 0 и, соответственно, фазовый спектр равен нулю:
s(t) = 2
S(f)cos(2pft)df, S(f) = 2s(t)cos(2pft)dt.
Рис. 4.15
В математическом анализе для упрощения записей используют символическую форму обозначения преобразования Фурье:
s(t) Û S(f), s(t) Û S(w),
где, в общем случае, как фурье-образ функции, так и она сама бывают комплексными.
Для физических сигналов и их достаточно корректных математических моделей преобразование Фурье, как правило, всегда существует. С чисто математических позиций сигналу s(t) можно сопоставить спектральную плотность S(w), если существует интеграл:
|s(t)| dt < ¥. (4.18)
Полезные соотношения
Для действительного сигнала s(t) имеет место
s(t) = (1/2p)S(w) exp(jwt) dw = (1/2p)|S(w)| exp(j(wt+j)) dw =
= (1/p)
|S(w)| cos(wt+j(w)) dw
При w = 0 S(0) =s(t) dt – площадь сигнала.
При t = 0 s(0) = (1/2p)S(w) dw.
Читайте также
Исследует предельный случай, когда промежуток , на котором заданная раскладывается в ряд Фурье, неограниченно расширяется, т.е. . Иными словами рассмотрим задачу о представлении непереодической функции, заданной на всей числовой оси, в виде, аналогичном ряду Фурье. Пусть... [читать подробенее]
Ряд Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье. = Следовательно, . Теорема. Пусть 1) ограничена на R, 2) абсолютно интегрируема на R, 3)на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда , . Вывод (нестрогий). Рассмотрим разложение функции в... [читать подробенее]
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье. Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно: 1) абсолютной интегрируемости на (т.е. интеграл сходится) 2) на любом конечном... [читать подробенее]
Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте условия Дирихле и теорему Дирихле. 2. В чем состоит особенность разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций? 3. Выведите формулу для коэффициентов Фурье. 4. Приведите пример ортогональной системы функций на промежутке... [читать подробенее]
Определение периодической функции: , (1) где Т – период; n – любое целое числа положительное или отрицательное. Определение (1) выражает основное св-во периодичности функции, состоящее в том, что ход явления периодически повторяется и периодичность эта существует для... [читать подробенее]
Непрерывные преобразования Фурье и Лапласа Спектры непериодических сигналов конечной длительности (финитных), зарегистрированных на интервале Т, могут быть получены из уравнений для рядов Фурье как предельные значения функций суммирования при расширении периода Т... [читать подробенее]
Если функция задана на всей числовой оси и не является периодической, то ее нельзя разложить в ряд Фурье, но можно представить интегралом Фурье. Если функция абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. то говорят, что функция принадлежит к классу Теорема 1. Если то... [читать подробенее]
Цепи при непериодических (импульсных) воздействиях При анализе реакции цепи на воздействие импульсных сигналов, а также при расчете переходных процессов (аналогично операторному методу) применяется спектральный (частотный) метод. Спектральный (частотный) метод... [читать подробенее]
. (31.8) Так как интеграл является чётной функцией аргумента , и в смысле главного значения равенство (31.8.) можно записать в виде . (31.9.) Аналогично, интеграл является нечётной функцией от , и в смысле главного значения . (31.10.) Вычитая из равенства (31.9.) равенство (31.10.),... [читать подробенее]
Ряд Фурье допускает представление в частотной области только периодических функций времени. Однако часто имеют дело с непериодическими функциями, характерными, например, для коммутационных процессов, молнии или разрядов статического электричества и т. д. Мы исходим из... [читать подробенее]