Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Науковедение Асимптоты
просмотров - 264

◙ Прямая А принято называть асимптотой кривой, если расстояние d от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М на бесконечность стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

Рисунок 1.4.4

1) Вертикальные асимптоты.

В случае если , или , или , то

прямая х = а есть асимптота кривой y = f (x); верно и обратное утверждение.

2) Наклонные асимптоты.

В случае если существуют пределы и , то

прямая y = kx + b есть асимптота. В случае если хотя бы один из пределов не существует, то кривая y = f (x) асимптоты не имеет.

З а м е ч а н и е. Рассуждения справедливы и для x ® – ¥.

3) Горизонтальные асимптоты.

Данный вид является частным случаем наклонных асимптот, а именно, если , то прямая y = b есть горизонтальная асимптота.

Пример. Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) вертикальные асимптоты:

т.к. у ® + ¥ при х ® – 0 и у ® – ¥ при х ® + 0, то х = 0 – вертикальная асимптота.

2) наклонные асимптоты:

, ᴛ.ᴇ. k = 2.

, ᴛ.ᴇ. b = 4.

Следовательно, у = 2х + 4 есть наклонная асимптота данной кривой.

Общий план исследования функций и построения графиков

Для проведения полного исследования функции крайне важно найти:

1) область определœения функции и точки разрыва;

2) точки пересечения графика с осями координат;

3) четность, нечетность, периодичность функции;

4) интервалы монотонности, точки экстремума;

5) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) асимптоты графика функции;

7) построить график.


Читайте также


  • - Асимптоты

    1. Вертикальная асимптота Def.1 Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в т. x0 обращается в бесконечность (т.е. в т. x0 – разрыв 2-го рода). При этом расстояние между точками графика функции и точками... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции.

    Определение. Прямая линия l называется асимптотой графика функции , если расстояние от текущей точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении текущей точки кривой от начала координат. Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные. ... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции

    При исследовании поведения функции на бесконечности, т. е. при +¥ и при –¥, или вблизи точек разрыва второго рода часто оказывается, что расстояния между точками графика функции и точками некоторой прямой с теми же абсциссами сколь угодно малы. Такую прямую называют... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции

    Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. На рисунке 3.10. приведены графические примеры вертикальной,... [читать подробенее]


  • - Асимптоты кривой

    Пример. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Следует отличать минимумы и максимумы функций от наибольшего и наименьшего ее значений на заданном отрезке. Функция может не иметь экстремумов в исследуемой области, а наименьшее и наибольшее в... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции

    Асимптотой графика функции y=f`(x) называется прямая, расстояние от которой до точки(x, f`(x)) стремится к нулю при x® ¥ (-¥). Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные . Теорема. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и хотя бы один из... [читать подробенее]


  • - Горизонтальные асимптоты.

    Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при , если Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при , если Пример. Найти горизонтальные асимптоты графика функции Решение. Имеем и . Значит, прямые и горизонтальные асимптоты.... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции

    При исследовании поведения функции при и при , удобным оказывается рассмотрение асимптот графика функции. Прямая называется асимптотойграфика функции , если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этих точек по графику... [читать подробенее]


  • - Асимптоты.

    Если график функции сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую называют асимптоты. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Определение.Прямая х = называется вертикальной асимптотойграфика у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений f(x), f(x)... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика

    Построение графика функции значительно упрощается, если знать его асимптоты. Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если . Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва 2-го рода или их следует искать на концах ее области... [читать подробенее]