Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Науковедение Исследование функций с помощью высших производных
просмотров - 223

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке она имеет касательную, каждая точка удовлетворяет уравнению

Определœение 3.Говорят, что кривая выпукла вверх в точке если существует такое, что в окрестности кривая находится

ниже своей касательной (3) в точке ᴛ.ᴇ. если В случае если же

то кривая принято называть выпуклой вниз в точке (часто говорят, о выпуклости или вогнутости в точке ). Говорят, чтокривая выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале если она выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точке этого интервала.

На рисунке Р.2 функция выпукла вверх в точке а на Р.3 – выпукла вниз.

Теорема 3.Пусть функция дважды дифференцируема на интервале . Тогда справедливы высказывания:

1. если то криваявыпукла вверхна

2. если то кривая выпукла вниз на

Доказательство.Пусть произвольная точка интервала Окружим её отрезком Таккак функция удовлетворяет на этом отрезке всœем условиям теоремыТейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то для всœех имеет место представление

С другой стороны, в точке функция имеет касательную с уравнением .Значит, Отсюда видно, что если (тогда и ), то значит,

кривая выпукла вверхв точке В случае если же то то значит,кривая выпукла внизв точке Теорема доказана.

Определœение 4.Точка принято называть точкой перегиба кривой если:а) дифференцируема в точке ; б) кривая при переходе через точку изменяет направление выпуклости (это равносильно тому, что разность изменяет знак при переходе через точку ).

Необходимое условие точки перегиба.В случае если - точка перегиба и если существут то

Доказательствовытекает из локальной формулы Тейлора и из равенства

Замечание 4.К точкам, подозрительным на “перегиб”, следует отнести, прежде всœего, точки , для которых При этом “перегиб” может иметь место и в точках, в которых вторая производная не существует или равна К примеру, в точке функция имеет производную И в этой точке эта функция имеет “перегиб”. Очевиден следующий результат.

Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба).Пусть функциядифференцируема в точке и некоторой её окрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если при переходе через точку вторая производная изменяет знак, то точка перегиба кривой

Используя локальную формулу Тейлора, можно доказать следующие утверждения.

4. Пусть функциядифференцируема раз в критической точке и пусть при этом

Тогда если то при в точке функция достигает минимума; при функция достигает максимума в точке .В случае если же

то в точке функция не имеет локального экстремума.

5. Пусть функция трижды дифференцируема в точке и выполнены условия: а) б) Тогда –точка перегиба кривой

К примеру, при исследовании функции на экстремум в точке исследовать знак производной довольно сложно. Так как

то (согласно утверждению 4) в точке функция достигает минимума.


Читайте также


  • - Исследование функций с помощью высших производных

    Выпуклость, вогнутость, точки перегиба Пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке она имеет касательную, каждая точка которой удовлетворяет уравнению Определение 3.Говорят, что кривая выпукла вверх в точке если существует такое, что в окрестности... [читать подробенее]


  • - Исследование функций с помощью высших производных

    Выпуклость, вогнутость, точки перегиба Пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке она имеет касательную, каждая точка удовлетворяет уравнению Определение 3.Говорят, что кривая выпукла вверх в точке если существует такое, что в окрестности кривая... [читать подробенее]