Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Науковедение Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек.
просмотров - 376

Пусть функция определœена и непрерывна в области . Локальным максимумом этой функции принято называть внутренняя точка у которой существует такая ненулевая – окрестность для каждой точки из которой выполняется условие: .

В случае если каждой точки из ненулевой – окрестности точки выполняется условие , то точка принято называть локальным минимумом функции .

Точки локального минимума или максимума называются точками локального экстремума. Для этих точек характерно знакопостоянство величины абсолютного приращения в пределах ненулевой – окрестности. Для определœения крайне важного и достаточного признаков экстремальности функции предположим, что функция в области не имеет точек разрыва и обладает дифференцируемостью до второго порядка. Как было указано выше, разложение абсолютного приращения имеет вид:

Главный член разложения полного приращения является знакопеременным, так как линœейно зависит от приращений . По этой причине в точке у функции не может наблюдаться экстремума, если вектор–градиент этой функции точке будет отличен от нулевого вектора, ᴛ.ᴇ. хотя бы одна из частных производных не будет равна нулю. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, необходимым условием существования локального экстремума функции является условие или

.

Точки, в которых первые частные производные функции равны нулю или не существуют, называются критическимидля данной функции. Критические точки, в которых первые частные производные функции существуют, называются стационарными. Функция многих переменных может достигать своего локального экстремума только в своей критической точке.

При обосновании достаточного условия существования экстремума введем дополнительное требование к функции : эта функция должна иметь непрерывные производные второго порядка в ненулевой – окрестности точки . Тогда условием наличия локального экстремума в критической точке или условием знакопостоянства абсолютного приращения в этой точке будет требование знакопостоянства второго слагаемого в разложении , ᴛ.ᴇ. . Влияние третьего и последующих членов разложения в этом случае будет пренебрежимо малым. В случае если формулу для вычисления сгруппировать и представить виде квадратичной формы:

то требование знакопостоянства сводится к требованию знакоопределœенности матрицы квадратичной формы в критической точке . В этом случае, если матрица квадратичной формы является положительно определœенной, то в точке функция имеет локальный минимум, а если матрица отрицательно определœена – то локальный максимум.

Условие знакопостоянства полного относительного приращения выполняется в точках локальной выпуклости, определœение которых можно дать по аналогии с функциями одной переменной.

Точка принято называть точкой локальной выпуклости функции , непрерывной и дифференцируемой в области , если она является внутренней точкой этой области и в некоторой ненулевой –окрестности точки выполняется условие: полное относительное приращение знакопостоянно.

В случае если , точка принято называть точкой выпуклости вниз.

В случае если , точка принято называть точкой выпуклости вверх.

В случае если условие локальной выпуклости вверх или вниз выполняется во всœех точках области , то функция принято называть однообразно выпуклой на области .

Достаточным условием существования локальной выпуклости функции нескольких переменных в точке является знакопостоянство полного дифференциала второго порядка этой функции. Это несложно показать, воспользовавшись формулой разложения

и проведя рассуждения аналогичные доказательству достаточного условия существования локального экстремума. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, знакопостоянство полного относительного приращения функции в некоторой ненулевой –окрестности точки определяется знакопостоянством полного второго дифференциала функции в точке .

В случае если , то функция имеет в точке локальную выпуклость вниз. В случае если , то функция имеет в точке локальную выпуклость вверх. Достаточное условие существования локального экстремума в критической точке кроме крайне важного признака включает в свой состав требование наличия локальной выпуклости в этой точке.