Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Науковедение Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.
просмотров - 172

Квадратичная форма отрицательно определœена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.

Квадратичная форма положительно определœена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.

Доказательство: Докажем первое утверждение.

Необходимость. Дано, что положительно определœена. Покажем, что всœе угловые миноры матрицы отличны от нуля. Допустим обратное, и пусть . Тогда согласно Лемме найдется такой ненулевой вектор , что . При этом это противоречит положительной определœенности квадратичной формы.

Итак, матрица удовлетворяет условию Якоби, в связи с этим можно построить систему векторов Якоби , которая является каноническим базисом , причем выражение

ее канонический вид в базисе . Теперь из положительной определœенности квадратичной формы и первого утверждения доказанной ранее теоремы следует, что , и значит, что .

Достаточность. В случае если , то угловые миноры матрицы отличны от нуля и можно построить канонический базис квадратичной формы , в котором

канонический вид квадратичной формы . Поскольку , то положительно определœена.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

В общем случае кривая второго порядка в базисе описывается уравнением . Ее первые три слагаемые образуют квадратичную форму с матрицей

.

Задача о приведении кривой к каноническому виду сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формы этой кривой.

Пусть и – собственные значения матрицы , а и – ортонормированные собственные векторы матрицы , соответствующие собственным значениям и .

Ортонормированные векторы и называются главными направлениями этой кривой.

Пусть является матрицей перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису .

Тогда ортогональное преобразование

приводит квадратичную форму к каноническому виду , а уравнение кривой – к виду в прямоугольной декартовой системе координат , оси которой направлены вдоль векторов , а начало совпадает с точкой системы координат .

Выделив в этом уравнении полные квадраты, получим , где – некоторые числа. Осуществив параллельный перенос системы координат в новое начало , получим канонический вид уравнения в системе координат . Учитывая зависимость отчисел эта кривая будет эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых, точкой или мнимой кривой.

Контрольные вопросы к теме

1. Понятие квадратичной формы.

2. Построение матрицы квадратичной формы.

3. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

4. Канонический базис квадратичной формы и приведение квадратичной формы к каноническому виду.

5. Канонический базис Якоби.

6. Критерий Сильвестра знакоопределœенности квадратичной формы.


Читайте также


  • - Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.

    Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные... [читать подробенее]


  • - Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.

    Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные... [читать подробенее]