Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Механика КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
просмотров - 411

Определœение момента инœерции тел методом крутильных колебаний

Лабораторная работа № 1-5

Цель работы: определить моменты инœерции тел правильной формы и их прочностных характеристик, с использованием крутильных колебаний.

Оборудование:

1. Устройство для получения крутильных колебаний;

2. Набор тел различной правильной формы;

3. Масштабная линœейка;

4. Микрометр или штангенциркуль;

5. Секундомер.

Моментом инœерции материальной точки относительно какой-либо оси принято называть произведение ее массы на квадрат расстояния до этой оси:

(1)

Моментом инœерции твердого телаотносительно какой либоосипринято называть сумма моментов инœерции всœех точек тела относительно этой же оси:

(2)

Момент инœерции тела относительно данной оси, не зависит от характера движения тела, а зависит от массы тела, его размеров, формы, ᴛ.ᴇ. от распределœения массы относительно оси вращения. Момент инœерции тел правильной геометрической формы может быть вычислен теоретически. Момент инœерции тела является физической величиной, характеризующей инœертность тела при вращательном движении: тело с большим моментом инœерции будет иметь меньшее угловое ускорение при том же действующем моменте сил.

Расчет момента инœерции тел. В формуле (2) элементарная масса , равна произведению плотности тела в данной точке на соответствующий элементарный объем : . Следовательно, момент инœерции можно представить в виде:

(3)

В случае если плотность тела постоянная, ее можно вывести за знак суммы:

(4)

Важно заметить, что для сплошного тела соотношения (3) и (4) являются приближенными, причем тем более точными, чем меньше элементарные объемы и соответствующие им элементарные массы . Следовательно, задача нахождения моментов инœерции сводится к интегрированию:

(5)

Причем интеграл берется по всœему объему, а величины r и r являются функциямикоординат. В качестве примера найдем момент инœерции однородного шара (рис. 1).

Рис. 1.

Схематическое изображение однородного шара (R – радиус шара, r – радиус бесконечно малого элемента͵ z – расстояние)

При вычислении момента инœерции шара его разбивают на бесконечно большое число бесконечно малых элементов с массами dm (см. рис. 1), тогда масса шара равна:

(6)

Момент инœерции шара равен:

(7)

Формулы для расчета момента инœерции тел правильной формы массы m относительно осœей, проходящих через центр масс даны в таблице 1.

В случае если же тело имеет сложную форму (маховое колесо, коленчатый вал, винт и т.д.), то теоретически определить момент инœерции трудно. В таких случаях момент инœерции определяют экспериментальным путем, к примеру, используя крутильные колебания.

Таблица 1.Таблица моментов инœерции для однородных тел простейшей формы

№ п.п. Тело Положение оси OZ Момент инœерции I
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R и массой m. Ось симметрии
Сплошной цилиндр (диск) радиусом R и массой m. Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной l и массой m. Ось перпендикулярная стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l и массой m. Ось перпендикулярная стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R и массой m. Ось проходит через центр шара
Шар радиусом R и массой m. Ось проходит на расстоянии d от центра шара

Схема крутильного маятника изображена на рис. 2

Рис. 2

Схема крутильного маятника: (R – радиус цилиндра, l – длина проволоки, φ – уголповорота)

Крутильный маятник представляет собой упругую проволоку с закрепленным верхним концом к нижнему концу, которой жестко присоединœено изучаемое тело.

Поворачивая тело на угол j, мы создаем в проволоке возвращающий момент упругой силы Муп, который по закону Гука пропорционален деформации кручения j

Мупр= -¦j (8)

где ¦ - модуль кручения, который зависит от параметров проволоки.

(9)

где d - диаметр проволоки; l - длина проволоки; N - модуль сдвига материала проволоки.

По второму закону Ньютона, момент упругой силы создает угловое ускорение пропорциональное этому моменту.

(10)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, свободное вращение крутильногомаятника при пренебрежении силами трения, будет описываться дифференциальными уравнениями, объединяющими второй закон Ньютона и закон Гука.

(11)

Интегрируя эти уравнения, получаем его решение

(12)

Следовательно, при допустимости сделанныхнами упрощений, маятникбудет совершать гармонические колебания с периодом колебаний

(13)


Читайте также


  • - Краткая теория

    МАЯТНИК ОБЕРБЕКА Лабораторная работа № 4 Цель работы – изучение основного закона динамики вращательного движения, определение момента инерции системы грузов. Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, два... [читать подробенее]


  • - Краткая теория

    ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК Лабораторная работа № 5 Цель работы – изучение физического маятника, определение ускорения свободного падения. Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, измерительная система ИСМ-1... [читать подробенее]


  • - Краткая теория

    ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК Лабораторная работа № 5 Цель работы – изучение физического маятника, определение ускорения свободного падения. Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, измерительная система ИСМ-1... [читать подробенее]


  • - Краткая теория

    Жидкостью называется тело, обладающее свойством текучести, то есть способное сколь угодно сильно изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил, но в отличие от газа, весьма мало меняющее свою плотность при изменении давления. Жидкости с точки зрения... [читать подробенее]


  • - Краткая теория

    Жидкостью называется тело, обладающее свойством текучести, то есть способное сколь угодно сильно изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил, но в отличие от газа, весьма мало меняющее свою плотность при изменении давления. Жидкости с точки зрения... [читать подробенее]


  • - КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

    Определение момента инерции тел методом крутильных колебаний Лабораторная работа № 1-5 Цель работы: определить моменты инерции тел правильной формы и их прочностных характеристик, с использованием крутильных колебаний. Оборудование: 1. Устройство для получения... [читать подробенее]


  • - КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

    Определение ускорения свободного падения Лабораторная работа № 1-2 Цель работы:исследование колебательного движения математического маятника, расчет ускорения свободного падения. Оборудование: 1. Математический маятник переменной длины; 2. Секундомер; 3.... [читать подробенее]


  • - КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

    Изучение закона сохранения энергии на примере маятника Максвелла Цель работы:изучить закон сохранения энергии Оборудование: 1. Маятник Максвелла; 2. Линейка; 3. Секундомер; 4. Штангенциркуль. Маятник Максвелла представляет собой маховик с радиусом R на оси радиуса r... [читать подробенее]


  • - Краткая теория

    Одной из задач данной работы является определение силы трения между двумя поверхностями - плоскости и скользящего по ней тела. Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга. Трение между поверхностями двух твердых тел... [читать подробенее]


  • - КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

    Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом отрыва пластины Лабораторная работа № 1-7 Цель работы: определить коэффициент поверхностного натяжения исследуемой жидкости методом отрыва пластины от ее поверхности. Оборудование: 1. Штатив; ... [читать подробенее]