Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Механика RLC-контур. Свободные колебания
просмотров - 589

Общность колебательных и волновых закономерностей проявляется в общности математических уравнений, описывающих процессы различной физической природы.

Глава 2. Электромагнитные колебания и волны

Колебательные и волновые процессы, изучаемые в различных разделах физики, проявляют удивительную общность закономерностей. Колебания груза на пружинœе и процессы в электрическом колебательном контуре, колебания столба воздуха в органной трубе и ход механических часов, распространение света и звуковых волн и т. д. – всœе эти явления протекают очень похожим образом. При этом, они имеют различную физическую природу. Чтобы решить, к примеру, задачу о колебаниях груза на пружинœе, нужно знать законы Ньютона, решение задачи о колебаниях в электрическом контуре требует знания законов электродинамики. Но математические уравнения, описывающие процессы, происходящие в этих двух системах, оказываются одинаковыми. Аналогично обстоит дело и с волновыми процессами.

По этой причине при изучении электромагнитных колебаний и волн мы будем обращаться за аналогиями к главе «Механические колебания и волны» (часть I, гл. II).

   
   

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружинœе или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис. 2.2.1).

Рисунок 2.2.1. Последовательный RLC-контур

Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения . После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определœенных условиях данный процесс может иметь колебательный характер.

Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде

где – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. В случае если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q (t), уравнение, описывающее свободные колебания вRLC-контуре, может быть приведено к следующему виду:

Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда

 
(*)

Здесь принято обозначение: Уравнение (*) описывает свободные колебания в LC-контуре в отсутствие затухания. По виду оно в точности совпадает с уравнением свободных колебаний груза на пружинœе в отсутствие сил трения (ч. I, § 2.2). Рис. 2.2.2 иллюстрирует аналогию процессов свободных электрических и механических колебаний. На рисунке приведены графики изменения заряда q (t) конденсатора и смещения x (t) груза от положения равновесия, а также графики тока J (t) и скорости груза υ (t) за один период колебаний.

Рисунок 2.2.2. Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний

Сравнение свободных колебаний груза на пружинœе и процессов в электрическом колебательном контуре позволяет сделать заключение об аналогии между электрическими и механическими величинами. Эти аналогии представлены в таблице 1.

Электрические величины Механические величины
Заряд конденсатора q (t) Координата x (t)
Ток в цепи Скорость
Индуктивность L Масса m
Величина, обратная электроемкости Жесткость k
Напряжение на конденсаторе Упругая сила kx
Энергия электрического поля конденсатора Потенциальная энергия пружины
Магнитная энергия катушки Кинœетическая энергия
Магнитный поток LI Импульс mυ
Таблица 1

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являютсягармоническими, то есть происходят по закону

q(t) = q0 cos(ωt + φ0).

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

Амплитуда q0 и начальная фаза φ0 определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рис. 2.2.1) после переключения ключа K в положение 2,q0 = C, φ0 = 0.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии Wэ, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию Wм катушки и наоборот. В случае если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 2.2.3).

Рисунок 2.2.3. Затухающие колебания в контуре

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружинœе при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: Fтр = – βυ. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению Rэлектрического контура. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

 
(**)

Физическая величина δ = R / 2L принято называть коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

которая содержит множитель exp (–δt), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, принято называть временем затухания.

В § 2.4 части 1 было введено понятие добротностиQ колебательной системы:

где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности Qлюбой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определœение:

Для RLC-контура добротность Q выражается формулой

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω0 идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5÷10) этим различием можно пренебречь.


Читайте также


  • - Анализ переходных процессов в последовательной RLC-цепи

    Подключение источника постоянного напряжения 1) Определим начальные условия: а) независимые б) зависимые 2) Уравнения: Характеристическое уравнение: Определим коэффициенты А1 и А2. t=0 Окончательно получаем: 3) Проверка 4) Определим... [читать подробенее]


  • - Замените ROI на RLC при анализе своей маркетинговой деятельности

    «Итак, Джим, какой уровень окупаемости инвестиций (ROI) способны обеспечить ваши идеи?» Разумный вопрос. Большинство идей, изложенных в этой книге, касаются бесплатного маркетинга. Однако следует фиксировать пусть даже временны е&... [читать подробенее]


  • - RLC-контур. Свободные колебания

    Общность колебательных и волновых закономерностей проявляется в общности математических уравнений, описывающих процессы различной физической природы. Глава 2. Электромагнитные колебания и волны Колебательные и волновые процессы, изучаемые в различных... [читать подробенее]


  • - RLC-контур. Свободные колебания

    В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рисунок 7.4).   ... [читать подробенее]


  • - RLC-контур. Свободные колебания

    В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рисунок 7.4).   ... [читать подробенее]


  • - Свободные колебания в RLC контуре

    Указания по технике безопасности Осторожно обращайтесь с оборотным маятником. Не допускайте падений и ударов маятника, это может нарушить его регулировку. Лабораторная работа №3 Цель работы: * Знакомство с моделью свободных колебаний в последовательном... [читать подробенее]


  • - Переходные процессы в последовательной RLC-цепи.

    Рассмотрим два случая переходных процессов в последовательной RLC-цепи: • последовательная RLC-цепь подключается к источнику постоянной Э.Д.С. Е; • предварительно заряженный конденсатор разряжается на RLC цепь. 1) При подключении последовательной RLC-цепи кисточнику... [читать подробенее]


  • - Цепь RLC

    По второму закону Кирхгофа в комплексной форме - закон Ома Zэкв – модуль эквивалентного сопротивления (полное сопротивление определяет связь между U и I) - аргумент, связь между начальными фазами Треугольники сопротивлений и напряжений X – реактивное... [читать подробенее]


  • - Цепь RLC

    По второму закону Кирхгофа в комплексной форме - закон Ома Zэкв – модуль эквивалентного сопротивления (полное сопротивление определяет связь между U и I) - аргумент, связь между начальными фазами Треугольники сопротивлений и напряжений X – реактивное... [читать подробенее]


  • - RLC - цепь

    ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Лекция 14 Основная 1. Грабовский Р.И. Курс физики. 6-е изд. – СПБ. : Издательство «Лань», 2002.- 608 с - / Учебники для вузов. Специальная литература. Формирование научных понятий в условиях глобализации образования (монография). Монография.... [читать подробенее]