Категории
Механика
Ряд интеграл Фурье. просмотров - 370
Определение периодической функции:
, (1)
где Т – период; n – любое целое числа положительное или отрицательное.
Определение (1) выражает основное св-во периодичности функции, состоящее в том, что ход явления периодически повторяется и периодичность эта существует для всех времён от + до - То есть периодических явлений в действительности нет.
Периодическая функция есть полезная математическая абстракция:
, (2)
Формула представлена в виде 2х слагаемых. Значение и должны быть подобраны таким образом, чтобы равенство (2) выполнялось.
Частоты колебаний, из которых составляется периодическая функция , образуют гармоническую последовательность. Отдельные составляющие носят название гармоники колебания.
Выражение (2) часто употребляется в другой форме:
, (3)
, ,
,
, (4)
(5)
Величина выражает среднее значение функции за период, она наз-ся постоянной составляющей. Выражается: (6)
Замечательным свойством ряда Фурье яв-ся то, что есть взять конечное число членов ряда и представить в виде: то для любого N получается наименьшее квадратное отклонение от точного значения.
С увеличением числа членов N приближение улучшается в пределе и если N в пределе стремится к бесконечности, то приближение становится точным.
Ряд Фурье в комплексной форме:
, (7)
где ; .
Величина есть комплексная амплитуда и выражается по формуле: (8).
Наглядный путь к получению разложения Фурье не периодической функции состоит в применении перехода . Для этого возьмём формулу (7) и подставим в неё значение из формулы (8): .
Сделаем следующую замену последующей схеме:
текучая частота͵ изменяющаяся непрерывно; её приращение.
(9);
(10); - интеграл Фурье в комплексной форме.
(11).
Комплексная амплитуда каждого отдельного колебания бесконечно мала и равна:
.
Частотный интервал бесконечно мал и равен .
Читайте также
Определение периодической функции: , (1) где Т – период; n – любое целое числа положительное или отрицательное. Определение (1) выражает основное св-во периодичности функции, состоящее в том, что ход явления периодически повторяется и периодичность эта существует для... [читать подробенее]