Категории
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте условия Дирихле и теорему Дирихле.
2. В чем состоит особенность разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций?
3. Выведите формулу для коэффициентов Фурье.
4. Приведите пример ортогональной системы функций на промежутке (-к,к).
5. Запишите ряд Фурье в комплексной форме.
6 Запишите равенство Парсеваля для функций, заданных на промежутке
(-7EJC).
Учебники: [16, гл. 17, §§ 5.32 - 5.34], [19, гл. 1, §§ 9 - 11], [28, гл. 2].
Аудиторная работа: [7, гл. 4, § 9.4, №№ 272, 276, 280, 282 (а)], [20, ч. 2, гл. 12, §§ 7.3 - 7.4, №№ 12. 513, 12.520], [31, №№ 191, 198, 213, 216, 221, 232, 244].
Самостоятельная работа: [7, гл. 4, § 9.4, №№ 273 - 275, 277, 282 (б)], [20, ч. 2, гл. 12, §§ 7.3 - 7.4, №№ 12. 514, 12.515], [31, №№ 195, 196, 214, 218, 224, 225, 228, 235, 242].
Функция f(x), абсолютно интегрируемая на всей вещественной оси 
и кусочно-непрерывная на каждом конечном отрезке этой оси, может быть представлена в виде интеграла Фурье
, (7.4.1)
где
. (7.4.2)
В случае четной функции (f(-х) = f(х))
, (7.4.3)
а в случае нечетной функции (f(-х) = -f(x))
, (7.4.4)
Пример 7.4.1. Представить функцию 
интегралом Фурье, продолжив ее на отрицательную полуось четным образом.
Решение. График функции изображен на рис. 7.4.1.
 |
Продолжение на отрицательную полуось функции f(x) проведено четным образом, в связи с этим, воспользуясь формулой (7.4.3) (B(z) = 0), получим
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, 
.
В случае если задана функция f(x), то функцию
(7.4.5)
называют преобразованием Фурье функции f(x), а обратное преобразование Фурье имеет вид
(7.4.6)
Для четных функций имеет место косинус-преобразование Фурье
(7.4.7)
и обратное косинус-преобразование Фурье
. (7.4.8)
Стоит сказать, что для нечетных функций записывается синус-преобразование Фурье
(7.4.9)
и обратное синус-преобразование Фурье
. (7.4.10)
Пример 7.4.2. Найти преобразование Фурье функции
Решение. По формуле (7.4.5) находим
Пример 7.4.3. Решить интегральное уравнение
, где 
Решением интегрального уравнения будет синус-преобразование Фурье (7.4.9) функции 
, а именно:
Замечание. В ряде учебников [16, 19] преобразование Фурье (7.4.5) записывают в виде 
, тогда обратное преобразование Фурье (7.4.6) имеет вид .