Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Математика Интеграл Фурье.
просмотров - 382

Исследует предельный случай, когда промежуток , на котором заданная раскладывается в ряд Фурье, неограниченно расширяется, ᴛ.ᴇ. . Иными словами рассмотрим задачу о представлении непереодической функции, заданной на всœей числовой оси, в виде, аналогичном ряду Фурье.

Пусть подчиняется 2-м условиям:

1) на удовлетворяет условию Дирихле

2) она абсолютно интегрируема на всœей числовой оси, ᴛ.ᴇ. несобственный интеграл .

Согласно 1-му условию можно разложить в ряды Фурье на :

===

==

==

=

Осуществим предельный переход при

=

Обозначим:

, ,

при . Тогда

==.

Исходя из полученного представления, интуитивно следует ожидать:

(9)

И это предположение подтверждается теоремой Фурье (без доказательства):

Теорема (интегральная теорема Фурье) В случае если абсолютно интегрируема на всœей числовой оси и удовлетворяет условию Дирихле на отрезке, то для этой функции справедливо представление (9) в точки ее непрерывности, а в точках разрыва: .
  Опр. Интегралом Фурье абсолютно интегрируемой функции принято называть интеграл .

Используя формулу для косинусов разности двух углов, можно преобразовать (9) к виду:

=

= (10)

где

Интеграл (10) также принято называть интегралом Фурье для . Он формально совпадает с (9).

В случае если - чётна, то , , тогда интеграл Фурье (11)

В случае если - нечетна, то , , тогда интеграл Фурье (12)

В случае если задана только на положительной полуоси, ᴛ.ᴇ. на , то формулы (11) осуществляют четное продолжение на всю числовую ось; а формулы (12) – нечетное её продолжение.


Читайте также


  • - Интеграл Фурье.

    Исследует предельный случай, когда промежуток , на котором заданная раскладывается в ряд Фурье, неограниченно расширяется, т.е. . Иными словами рассмотрим задачу о представлении непереодической функции, заданной на всей числовой оси, в виде, аналогичном ряду Фурье. Пусть... [читать подробенее]


  • - Интеграл Фурье.

    Ряд Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье. = Следовательно, . Теорема. Пусть 1) ограничена на R, 2) абсолютно интегрируема на R, 3)на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда , . Вывод (нестрогий). Рассмотрим разложение функции в... [читать подробенее]


  • - Интеграл Фурье

    Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье. Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно: 1) абсолютной интегрируемости на (т.е. интеграл сходится) 2) на любом конечном... [читать подробенее]


  • - Тема 7.4. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

    Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте условия Дирихле и теорему Дирихле. 2. В чем состоит особенность разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций? 3. Выведите формулу для коэффициентов Фурье. 4. Приведите пример ортогональной системы функций на промежутке... [читать подробенее]


  • - Ряд интеграл Фурье.

    Определение периодической функции: , (1) где Т – период; n – любое целое числа положительное или отрицательное. Определение (1) выражает основное св-во периодичности функции, состоящее в том, что ход явления периодически повторяется и периодичность эта существует для... [читать подробенее]


  • - Интеграл Фурье

    Непрерывные преобразования Фурье и Лапласа Спектры непериодических сигналов конечной длительности (финитных), зарегистрированных на интервале Т, могут быть получены из уравнений для рядов Фурье как предельные значения функций суммирования при расширении периода Т... [читать подробенее]


  • - Преобразование и интеграл Фурье

    Если функция задана на всей числовой оси и не является периодической, то ее нельзя разложить в ряд Фурье, но можно представить интегралом Фурье. Если функция абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. то говорят, что функция принадлежит к классу Теорема 1. Если то... [читать подробенее]


  • - Интеграл Фурье

    Цепи при непериодических (импульсных) воздействиях При анализе реакции цепи на воздействие импульсных сигналов, а также при расчете переходных процессов (аналогично операторному методу) применяется спектральный (частотный) метод. Спектральный (частотный) метод... [читать подробенее]


  • - Рассмотрим интеграл Фурье

    . (31.8) Так как интеграл является чётной функцией аргумента , и в смысле главного значения равенство (31.8.) можно записать в виде . (31.9.) Аналогично, интеграл является нечётной функцией от , и в смысле главного значения . (31.10.) Вычитая из равенства (31.9.) равенство (31.10.),... [читать подробенее]


  • - Представление непериодических функций времени в частотной области. Интеграл Фурье

    Ряд Фурье допускает представление в частотной области толь­ко периодических функций времени. Однако часто имеют дело с непериодическими функциями, характерными, например, для коммутационных процессов, молнии или разрядов статического электричества и т. д. Мы исходим из... [читать подробенее]