Open Library - открытая библиотека учебной информации

Категории

Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба.

График функции f(x) принято называть выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной к любой его точке.

График функции f(x) принято называть вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной к любой его точке.

Теорема (достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции). В случае если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и она положительна, то функция вогнута на этом интервале. В случае если же f′′(x) отрицательна на интервале (a; b), то функция выпукла на этом интервале.

Точка графика функции при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, принято называть точкой перегиба.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба)В случае если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и при переходе через точку х = x₀ f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = x₀ является точкой перегиба.

Критическими точками II рода функции называются точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Асимптотой кривой принято называть прямая, к которой неограниченно приближается график функции.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты бывают прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты. В случае если, , или , то прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой y = f(x). Вертикальные асимптоты обычно сопровождают точки разрыва второго рода и если функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.

К примеру, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты. Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

Для точного определœения этой прямой крайне важно найти способ вычисления коэффициентов k и b.

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ при x®0-0, y®-¥ при x®0+0, следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

2) Наклонные асимптоты:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты: ,

Следовательно, y = 0 – горизонтальная асимптота.

Читайте также