Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Математика Асимптоты кривой
просмотров - 312

Определœение. Прямая принято называть асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремиться к нулю.

 
 

Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведение функции в окрестности особой точки, когда , и наклонными, дающими представление о поведении функции при .

В случае если особая точка, уравнение вертикальной асимптоты .

Теорема. Кривая имеет наклонную асимптоту при , уравнение которой , если принимают конечное значение и .

Доказательство. Из определœения асимптоты следует , где бесконечно малая при , то есть . Остается определить параметры уравнения асимптоты. Для этого вычислим , . Итак, если оба предела существуют и конечны, параметры прямой и определœены, причем точки этой прямой бесконечно сближаются с точками кривой при .

Пример. . Ясно, что - уравнение вертикальной асимптоты.

Определим ,

.

Наклонная асимптота при имеет уравнение .

Исследование функции, построение ее графика

Алгоритм исследования

I. Исследование самой функции. Необходимо установить

1) Область определœения функции, ее особые точки, вертикальные асимптоты.

2) Точки пересечения кривой с осями координат

3) Функция четная, нечетная или общего вида

4) Функция периодическая или не периодическая

II. Исследование производной функции. Необходимо определить

1) Точки максимума и минимума функции

2) Интервалы возрастания и убывания функции

III. Исследование второй производной

1) Точки перегиба

2) Интервалы выпуклости и вогнутости функции

IV. Исследование поведения функции при . Наклонные асимптоты.

В качестве примера рассмотрим функцию

I.

1. Область существования функции – вся числовая ось, то есть . Следовательно, у этой кривой нет особых точек, нет и вертикальных асимптот.

2. Кривая пересекает оси координат в начале координат. Следовательно, первая характерная точка графика .

3. Кривая нечетная: , следовательно, она симметричная относительно начала координат.

4. Функция непериодическая.

II. 1. Определим первую производную , приравниваем ее нулю, откуда получаем еще две характерные (критические) точки , , координаты этих точек на плоскости , . Рассмотрим первую из этих точек , левее ее производная , правее , следовательно, это точка минимума функции. Левее точки производная правее она отрицательна, значит это точка максимума функции.

2. Знак первой производной определяется выражением , следовательно, она положительна на интервале , в остальных областях она отрицательна. Итак, функция убывает на интервале , возрастает на интервале , затем опять убывает на .

III. 1. Определяем вторую производную функции:

.

Приравниваем производную нулю и получаем еще три характерные точки функции, одна из которых уже известна. Две другие и . На координатной плоскости они имеют координаты , . Знак второй производной определяется ее числителœем. Левее точки она отрицательна, правее . Следовательно, это точка перегиба. Левее точки имеем , правее ., еще одна точка перегиба. Левее точки получаем , правее , третья точка перегиба.

2. Поскольку других точек, в которых вторая производная меняет знак у функции нет, можно утверждать, что на интервале кривая выпуклая, на интервале кривая вогнутая, на интервале кривая опять выпуклая и, наконец, на интервале - вогнутая.

IY. Определяем наклонные асимптоты кривой, уравнение асимптоты , причем

,

,

Поскольку уравнение асимптоты , асимптотой функции является ось .

В итоге график функции имеет вид

На рисунке отчетливо наблюдаются точки максимума и минимума функции и три точки перегиба. Видим также, что кривая «прижимается» к оси при , стремящемся как к плюс, так и к минус бесконечности, следовательно, асимптота единая.

Рассмотрим пример при другом оформлении результата. Пусть . Область существования данной функции – вся числовая ось, кроме точки . Функция непериодическая (нет тригонометрических функций), общего вида (не четная, не нечетная).

Определим вначале всœе характерные точки графика, то есть точки пересечения с осями координат, особые точки, точки максимума и минимума, точки перегиба. Для этого вычислим первую и вторую производные

,

.

Исследуя функцию и ее производные, устанавливаем, что имеется одна особая точка и еще три характерных точки , , .

Таблица

-2 -1
<0 -8 <0 -9 <0 >0 н.с. >0
<0   <0 >0   >0 н.с. <0
<0 >0 >0 >0   >0 н.с. >0
Примеч.   , убыв., выпукл. Т. Пер. , убыв., вогн.   Min , возр., вогн.     , возр., вогн.   Н.с. , убыв., вогн.  

В таблице собрана вся информация о функции, примечания позволяют проще построить ее график.

Определим наклонную асимптоту кривой , причем

,

.


Читайте также


  • - Асимптоты кривой

    Пример. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Следует отличать минимумы и максимумы функций от наибольшего и наименьшего ее значений на заданном отрезке. Функция может не иметь экстремумов в исследуемой области, а наименьшее и наибольшее в... [читать подробенее]


  • - Асимптоты кривой

    Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремиться к нулю.     Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведение функции в окрестности особой... [читать подробенее]


  • - Направления вогнутости кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой

    График функции называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз) в промежутке , если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной, проведённой в любой точке этой дуги (рис. 5.5). График функции называется вогнутым вниз (или выпуклым вверх) в промежутке , если... [читать подробенее]