Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Маркетинг Периодические граничные условия Борна-Кармана
просмотров - 466

Может показаться, что приведенный выше расчет плотности состояний не совсœем правильный из-за принятых нами допущений о закреплении атомов на концах линœейной конечной цепочки (поскольку такое условие приводит к тому, что существуют только стоячие, а не бегущие волны).

Рассмотрим бесконечную линœейную цепочку атомов, расположенных на расстояниях а друг от друга. Пусть в ней распространяются бегущие волны.

Введем ограничение, называемое Периодические граничные условия Борна-Кармана:смещения в любой разрешенной моде повторяются через расстояние L = Na. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, мы имеем ur=u N+r и т. д.

Моды, которые могут распространяться при этих условиях, должны иметь следующие волновые векторы:

, (14)

где знаки плюс и минус соответствуют волнам, распространяющимся в противоположные стороны.

Из сравнения выражений (12) и (14) следует, что в случае одномерного кристалла для стоячих или бегущих волн плотность состояний g(k) на единичный интервал |к| равна 1/π (1/2π для отрицательных K+ 1/2π для отрицательных K).

ВЫВОД: плотность состояний бесконечной цепочки не зависит от наложенных граничных условий. Вывод может быть распространен на трехмерный кристалл большого размера.

Но бесконечная линœейная цепочка атомов — это не то, с чем мы имеем дело в реальности.

При этом полученный нами факт, что граничные условия не играют существенной роли для линœейной цепочки, позволяет утверждать, что в реальном трехмерном кристалле плотность состояний как функция волнового вектора, частоты или энергии не зависит от формы и природы поверхности кристалла, но лишь при условии, что размеры кристалла значительно превышают атомные размеры.

В задачах физики твердого тела нередко встречаются

случаи, когда крайне важно знать зависимость плотности состояний не только от k – g(k), но и от 𝜔 – g(𝜔).

Для линœейной одноатомной цепочки, которую мы только что рассмотрели, можно записать

(15)

А поскольку, согласно (8)

(16)

мы имеем для групповой скорости

. (17)

Подставляя это выражение в (15), получаем для плотности состояний фотонов

(18)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, g(𝜔) имеет явную зависимость от 𝜔 и

действительно обращается в бесконечность на верхнем пределœе.

К этому выражению для g(𝜔) мы будем нередко обращаться, а при рассмотрении квантовой теории теплоемкости в разд. 2.4 мы будем иметь дело с более сложным выражением для g(𝜔).

Мы видели, что разрешенные моды для линœейной цепочки с заданной периодичностью на длинœе L образуют последовательность точек в одномерном k-пространстве, расстояние между которыми равно 2π/L. Это представление иллюстрируется рис. 4а.

Рис. 4. Распределœение разрешенных колебательных состояний в к-пространстве, когда периодичность задается длиной L. а — для одноатомной линœейной решетки; б — для трехмерной решетки; показаны состояния лишь в положительном квадранте плоскости kxky.

Такое же представление можно применить к разрешенным модам в k-пространстве для трехмерного кристалла. На рис. 4б в целях удобства изображено всœего лишь несколько разрешенных мод, всœе остальные смещения разрешенных мод должны быть периодическими с периодом L вдоль каждой оси декартовых координат. Из рисунка видно, что в k-пространстве каждое разрешенное состояние занимает объем (2π/L )3.

Поскольку объем шарового слоя радиусом K=|k| и толщиной dk с центром в начале координат равен 4πk2dk, число разрешенных колебательных состояний в интервале dk должно быть равно

(19)

Изображенное на рис. 4б распределœение мод в k-пространстве будет простираться до границ зоны Бриллюэна во всœех направлениях.

В случае трехмерного кристалла вывод зависимости g(𝜔) оказывается значительно более сложным, чем для

одномерного кристалла, хотя совсœем нетрудно показать, что

в низкочастотной бездисперсионной области g(𝜔) может изменяться как 𝜔2 (см. задачу 2.4).

Вычисление полного числа мод является сложной задачей для большинства реальных кристаллов, но, к счастью, мы можем воспользоваться тем, что

любая совокупность N атомов в трехмерном пространстве в целом может колебаться 3N различными способами. Разумеется, это число 3N равно числу классических степеней свободы у N атомов.

Две трети из этих 3N мод (т. е. 2N) соответствуют поперечным волнам и одна треть (N) — продольным. На языке к-пространства это означает, что в объеме зоны Бриллюэна, соответствующей кристаллической структуре, могут разместиться всœе продольные моды по одной на каждый атом и, кроме того, всœе поперечные моды из расчета по две моды на каждый атом.

В случае если мы отрежем часть кристалла, то объем зоны Бриллюэна не изменится, но точки в k-пространстве, соответствующие различным колебательным состояниям, раздвигаются.

Чтобы обосновать высказанное выше утверждение о том, что в трехмерном пространстве для N одинаковых атомов существует N продольных и 2N поперечных мод, рассмотрим простой кубический кристалл с боковыми ребрами длиной L,

так что N=(L/a)3. В этом случае зона Бриллюэна представляет собой куб с длиной ребра 2π/а и объемом (2π/а)3. Поскольку, как это видно из рис. 4б, каждая разрешенная продольная мода занимает объем (2π/а)3, во всœей зоне помещается, как и ожидалось, N состояний.

Дисперсионные кривые для продольных и поперечных фононов в кристаллографических направлениях высокой симметрии могут дать информацию о наиболее важных атомных силовых постоянных.

Примеры этих кривых приведены на рис. 5.

Рис. 5.-Левый Общая плотность колебательных состояний в меди как функция частоты 𝜔. Кривая построена по результатам численного анализа разных ветвей экспериментальных дисперсионных кривых на рис. 4б. [Svensson Е. С. et al— Phys. Rev., 155, 619 (1967).]

Рис. 5-Правый. Общая плотность колебательных состояний в ванадии как функция частоты 𝜔. Кривая, построенная по результатам исследования некогерентного рассеяния нейтронов, заимствована из работы: