Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Компьютеры Асимптоты кривой
просмотров - 355

Пример.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Следует отличать минимумы и максимумы функций от наибольшего и наименьшего ее значений на заданном отрезке. Функция может не иметь экстремумов в исследуемой области, а наименьшее и наибольшее в этой области значения она имеет всœегда.

Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, крайне важно подсчитать значения функции в точках экстремума, входящих в исследуемую область, а также в граничных ее точках и выбрать среди них наименьшее и наибольшее значения.

Определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Находим точки, в которых производная обращается в нуль:

, получаем две точки, одна из которых не входит в исследуемую область, добавляем к ним граничные точки, тогда .

Определяем в этих точках значения функции .

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, наименьшее в заданной области значение функции реализуется при , наибольшее при .

Задача о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции одного вещественного переменного на отрезке с развитием компьютерных технологий перестает быть очень актуальной. С помощью программ MAXIMA мы можем легко построить график исследуемой функции и найти на нем всœе интересующие нас точки. Для того, чтобы построить график функции на отрезке [1,4], следует ввести команду plot2d(x^3-3*x^2+1,[x,1,4])и нажать Shift+Enter.

graph.wxm

Определœение. Прямая принято называть асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю.

На двух следующих рисунках асимптоты окрашены в красный цвет

Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведение функции в окрестности особой точки, когда , и наклонными, дающими представление о поведении функции при .

В случае если особая точка, уравнение вертикальной асимптоты .

Теорема. Кривая имеет наклонную асимптоту при , уравнение которой , если существуют пределы: и .

Доказательство. Из определœения асимптоты следует , где бесконечно малая при , то есть . Остается определить параметры уравнения асимптоты. Для этого вычислим , . Итак, если оба предела существуют и конечны, параметры прямой и определœены, причем точки этой прямой бесконечно сближаются с точками кривой при .

Пример. . Ясно, что – уравнение вертикальной асимптоты.

Определим ,

.

Наклонная асимптота при имеет уравнение .


Читайте также


  • - Асимптоты кривой

    Пример. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Следует отличать минимумы и максимумы функций от наибольшего и наименьшего ее значений на заданном отрезке. Функция может не иметь экстремумов в исследуемой области, а наименьшее и наибольшее в... [читать подробенее]


  • - Асимптоты кривой

    Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремиться к нулю.     Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведение функции в окрестности особой... [читать подробенее]


  • - Направления вогнутости кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой

    График функции называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз) в промежутке , если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной, проведённой в любой точке этой дуги (рис. 5.5). График функции называется вогнутым вниз (или выпуклым вверх) в промежутке , если... [читать подробенее]