Категории
- Астрономия
- Биология
- Биотехнологии
- География
- Государство
- Демография
- Журналистика и СМИ
- История
- Лингвистика
- Литература
- Маркетинг
- Менеджмент
- Механика
- Науковедение
- Образование
- Охрана труда
- Педагогика
- Политика
- Право
- Психология
- Социология
- Физика
- Химия
- Экология
- Электроника
- Электротехника
- Энергетика
- Юриспруденция
- Этика и деловое общение
Асимптотой графика функции y = f(x) принято называть прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
На рисунке 3.10. приведены графические примеры вертикальной, горизонтальных и наклонной асимптот.
Нахождение асимптот графика основано на следующих трех теоремах.
Теорема о вертикальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой окрестности точки x0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности, ᴛ.ᴇ. 
Тогда прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции у = f(х).
Очевидно, что прямая х = х0 не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х0, так как в этом случае 
. Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.
Теорема о горизонтальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции 
. Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции.
Замечание. В случае если конечен только один из пределов 
, то функция имеет соответственно левостороннюю либо правостороннююгоризонтальную асимптоту.
В том случае, если 
, функция может иметь наклонную асимптоту.
Теорема о наклонной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы
. Тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции.
Без доказательства.
Наклонная асимптота͵ аналогично тому, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней, если в базе соответствующих пределов стоит бесконечность определенного знака.
Исследование функций и построение их графиков обычно включает следующие этапы:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность-нечетность.
3. Найти вертикальные асимптоты, исследовав точки разрыва и поведение функции на границах области определения, если они конечны.
4. Найти горизонтальные или наклонные асимптоты, исследовав поведение функции в бесконечности.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Читайте также
Определение. Прямая линия l называется асимптотой графика функции , если расстояние от текущей точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении текущей точки кривой от начала координат. Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные. ... [читать подробенее]
При исследовании поведения функции на бесконечности, т. е. при +¥ и при –¥, или вблизи точек разрыва второго рода часто оказывается, что расстояния между точками графика функции и точками некоторой прямой с теми же абсциссами сколь угодно малы. Такую прямую называют... [читать подробенее]
Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. На рисунке 3.10. приведены графические примеры вертикальной,... [читать подробенее]
Асимптотой графика функции y=f`(x) называется прямая, расстояние от которой до точки(x, f`(x)) стремится к нулю при x® ¥ (-¥). Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные . Теорема. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и хотя бы один из... [читать подробенее]
При исследовании поведения функции при и при , удобным оказывается рассмотрение асимптот графика функции. Прямая называется асимптотойграфика функции , если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этих точек по графику... [читать подробенее]
Прямая y=kx + b - наклонная асимптотаграфика функции y = f(x), если существует и существует . Доказательство: 1) Если у графика существует наклонная асимптота y=kx + b, то, следовательно, а также: . 2) Если , то, следовательно, . Значит, прямая y=kx + b удовлетворяет определению... [читать подробенее]
, . И . И . И . Следовательно , наклонной асимптоты нет. ПРИМЕР.Найти асимптоты функции . ОДЗ функции: х&... [читать подробенее]
Волгодонск Конспект лекции №6 по теме: «Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции» Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по... [читать подробенее]
Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба. График функции f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной к любой его точке. График функции f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше... [читать подробенее]
Графики некоторых функций расположены на плоскости так, что при неограниченном удалении от начала координат они неограниченно приближаются к некоторым прямым, но не пересекают их. Такие прямые называются асимптотами функции. Асимптоты могут быть горизонтальными,... [читать подробенее]