Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Компьютеры Асимптоты графика функции
просмотров - 333

Асимптотой графика функции y = f(x) принято называть прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

На рисунке 3.10. приведены графические примеры вертикальной, горизонтальных и наклонной асимптот.

Нахождение асимптот графика основано на следующих трех теоремах.

Теорема о вертикальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определœена в некоторой окрестности точки x0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности, ᴛ.ᴇ. Тогда прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции у = f(х).

Очевидно, что прямая х = х0 не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х0, так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определœения.

Теорема о горизонтальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определœена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции.

Замечание. В случае если конечен только один из пределов , то функция имеет соответственно левостороннюю либо правостороннююгоризонтальную асимптоту.

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема о наклонной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определœена при достаточно больших х и существуют конечные пределы. Тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции.

Без доказательства.

Наклонная асимптота͵ аналогично тому, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней, если в базе соответствующих пределов стоит бесконечность определœенного знака.

Исследование функций и построение их графиков обычно включает следующие этапы:

1. Найти область определœения функции.

2. Исследовать функцию на четность-нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты, исследовав точки разрыва и поведение функции на границах области определœения, если они конечны.

4. Найти горизонтальные или наклонные асимптоты, исследовав поведение функции в бесконечности.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.


Читайте также


  • - Асимптоты графика функции.

    Определение. Прямая линия l называется асимптотой графика функции , если расстояние от текущей точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении текущей точки кривой от начала координат. Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные. ... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции

    При исследовании поведения функции на бесконечности, т. е. при +¥ и при –¥, или вблизи точек разрыва второго рода часто оказывается, что расстояния между точками графика функции и точками некоторой прямой с теми же абсциссами сколь угодно малы. Такую прямую называют... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции

    Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. На рисунке 3.10. приведены графические примеры вертикальной,... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции

    Асимптотой графика функции y=f`(x) называется прямая, расстояние от которой до точки(x, f`(x)) стремится к нулю при x® ¥ (-¥). Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные . Теорема. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и хотя бы один из... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции

    При исследовании поведения функции при и при , удобным оказывается рассмотрение асимптот графика функции. Прямая называется асимптотойграфика функции , если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этих точек по графику... [читать подробенее]


  • - Теорема о существовании наклонной асимптоты графика функции.

    Прямая y=kx + b - наклонная асимптотаграфика функции y = f(x), если существует и существует . Доказательство: 1) Если у графика существует наклонная асимптота y=kx + b, то, следовательно, а также: . 2) Если , то, следовательно, . Значит, прямая y=kx + b удовлетворяет определению... [читать подробенее]


  • - Найти асимптоты графика функции .

    , . И . И . И . Следовательно , наклонной асимптоты нет. ПРИМЕР.Найти асимптоты функции . ОДЗ функции: х&... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции.

    Волгодонск Конспект лекции №6 по теме: «Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции»     Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции

    Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба. График функции f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной к любой его точке. График функции f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше... [читать подробенее]


  • - Асимптоты графика функции.

    Графики некоторых функций расположены на плоскости так, что при неограниченном удалении от начала координат они неограниченно приближаются к некоторым прямым, но не пересекают их. Такие прямые называются асимптотами функции. Асимптоты могут быть горизонтальными,... [читать подробенее]