Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Геология Краткие теоретические сведения
просмотров - 828

Решение главной геодезической задачи на поверхности эллипсоида

Решение сферического треугольника по способу аддитаментов

Идея способа аддитаментов состоит по сути в том, что стороны сферического треугольника a,b,c исправляют поправками, в результате чего получают стороны плоского треугольника a’,b’,c’ и неизвестные стороны сферического треугольника. Аддитаментами являются величины Aa=ka3, Ab=kb3, Ac=kc3, где k=1/6R2, R – средний радиус кривизны эллипсоида для района расположения треугольника. Значение величины можно принять постоянной для территории бывшего СССР и равной k=4.09×10-15. При этом длины сторон треугольника выражают в метрах.

Последовательность решения по способу аддитаментов:

1) Из исходной стороны c вычитают ее аддитамент Ac и получают сторону плоского треугольника c’.

2) По известным углам сферического треугольника и стороне c’ решают треугольник как плоский, используя теорему синусов, и находят остальные стороны плоского треугольника a’ и b’ : a’=c’sinA/sinC , b’=c’sinB/sinC

3) Полученные значения сторон исправляют их аддитаментами и находят искомые стороны сферического треугольника: a=a’+ka’3=a’+Aa , b=b’+kb’3=b’+Ab

Задание и исходные данные

Решить треугольник по теореме Лежандра и способу аддитаментов. Исходные данные: Bm =55°27'00'' ; SAB=30500,123+100·№, где № – номер варианта; f=0,0025290 ; A = 50°20'19.41'' ; B = 62°12'44.54'' ; C = 67°26'58.43''

Схема решения

Bm = 55°27'00''  
 
A
B
C
 
 
a
c
b

 
       
c = 30 500,123            
Углы треугольника на эллипсоиде          
A = 50°20'19.41''            
B = 62°12'44.54''            
C = 67°26'58.43''            
               
Теорема Лежандра
Вычисление сферического избытка        
f 0,0025290            
cкм2 930,258            
sinA 0,7698311            
sinB 0,8846817            
sinC 0,9235423            
ε 1,735''            
Решение треугольника          
Вершина Измеренные углы сферического треугольника Поправка из уравнивания -w/3 Уравненные углы сферического треугольника -ε/3 Углы плоского треугольника Синусы углов плоского треугольника
С 67°26'58.43'' -0,215'' 67°26'58.22'' -0,578'' 67°26'57.64'' 0,92354083
A 50°20'19.41'' -0,215'' 50°20'19.20'' -0,578'' 50°20'18.62'' 0,76982865
B 62°12'44.54'' -0,215'' 62°12'44.33'' -0,578'' 62°12'43.75'' 0,88467987
Σ 180°00'02.38'' -0,65'' 180°00'01.74'' -1,73'' 180°00'00.00''  
ε 1,73''          
w=Σ-180-ε 0,65''          
Стороны сферического треугольника      
DII 33 025,202          
a 25 423,747          
b 29 216,732          
                   
Способ аддитаментов (Схема решения)
k = 4,09E-15            
Вершина Измеренные углы сферического треугольника Поправка из уравнивания -w/3 Уравненные углы сферического треугольника Синусы уравненных углов сферического треугольника Стороны плоского треугольника As Стороны сфероидического треугольника
С 67°26'58.43'' -0,215'' 67°26'58.22'' 0,92354191 30 500,007 0,116 30 500,123
A 50°20'19.41'' -0,215'' 50°20'19.20'' 0,76983044 25 423,680 0,067 25 423,747
B 62°12'44.54'' -0,215'' 62°12'44.33'' 0,88468118 29 216,630 0,102 29 216,732
Σ 180°00'02.38'' -0,65''          
ε 1,73''            
w 0,65''            

Определœение координат некоторой точки по известным координатам других точек к измеренным или заданным угловым к линœейным величинам принято называть главной геодезической задачей.

Такая задача может быть поставлена в различных координатных системах. В высшей геодезии принято решать эту задачу в геодезической системе координат, которая предполагает известными размеры и ориентировку конкретного референц-эллипсоида.

Главную геодезическую задачу принято рассматривать в виде двух задач: прямой и обратной.

Прямая геодезическая задача состоит в том, чтобы по известным координатам начальной точки B1, L1 , прямому азимуту A12 и расстоянию S12 определить координаты конечной точки B2, L2 и обратный азимут A21.

Обратная геодезическая задача состоит по сути в том, чтобы по координатам начальной и конечной точек B1, L1, B2, L2 определить расстояние S12 между ними и азимуты A12, A21 (см. рис).

В геодезической практике прямую и обратную геодезические задачи приходится решать для различных длин геодезических линий. На практике установилась определœенная градация возможных расстояний, для каждой из которых существует наиболее удобный метод решения главных геодезических задач.

· Малые расстояния (от 20 до 200 км) встречаются при вычислении сторон треугольников и замыкающих звеньев триангуляции I класса.

· Средние расстояния (от 200 до 800 км) имеют место при вычислении диагоналей полигонов триангуляции 1 класса, при обработке астрономо-геодезической сети, при развитии динамической (ракетной) триангуляции, радиогеодезических сетей и других задач.

· Большие расстояния (более 800 км) встречаются при ориентировке референц-эллипсоида, при геодезическом соединœении материков методом космической триангуляции, в радионавигации, при установлении единой координатной системы. в целях слежения за управляемыми ракетами и т. д.

Для решения главных геодезических задач крайне важно установить уравнения связи исходных и определяемых величин. Наиболее простой и естественный способ установления таких уравнений связи и в конечном итоге решения главных геодезических задач заключается в непосредственном решении треугольника APB (см. рис.), в котором исходные данные и определяемые неизвестные как в прямой, так и в обратной задачах являются элементами этого треугольника. К примеру, в случае прямой геодезической задачи исходными данными являются стороны S12, AP и угол A12. Из решения треугольника получаются другие его элементы l, A21, BP, с помощью которых определяют искомые величины L2=L1+l, B2=90°–BP.

Такой путь решения главных геодезических задач принято называть прямым. При этом в связи с большими сторонами полярного треугольника APB, достигающими нескольких тысяч километров, его нужно рассматривать как сфероидический. Это обстоятельство значительно усложняет решение и требует использования 10-значных таблиц тригонометрических функций. По этой причине применяют другой путь решения, который называют косвенным.

Косвенный путь решения главных геодезических задач заключается в определœении разностей широт, долгот н азимутов, на основании уравнений связи этих величин с исходными данными. К примеру, для прямой задачи определяют

Задание и исходные данные

Прямая задача

В треугольнике ABC из решения прямой геодезической задачи вычислить геодезические координаты каждой вершины. Значения длин сторон и уравненных сферических углов треугольника взять из предыдущей работы (Решение геодезических треугольников).

Последовательность вычислений:

1) Используя BA= 52°20'00.000'', LA= 65°12'34.567'', AAB= 12°34'56.789''и сторону SAB, согласно своего варианта в работе «Решение геодезических треугольников», получить из решения прямой геодезической задачи координаты точки B (BB, LA) и обратный азимут АBA.

2) Вычислить азимут стороны ABC = ABA – <B. Используя координаты точки B (BB, LA), азимут ABC , сторону SBС , получить из решения прямой геодезической задачи координаты точки С (BC, LC) и азимут ACB.

3) Аналогично предыдущему этапу, получить азимут A и вычислить для контроля координаты точки А и азимут AАC, используя координаты точки С и сторону SAС.

Обратная задача

Используя полученные координаты вершин треугольника, вычислить из решения обратной геодезической задачи длины и азимуты всœех сторон треугольника и сравнить результаты.

Схема решения

Для вычислений предлагаем использовать компьютерную программу SFEGEO.EXE .

При ее запуске отобразиться меню:

Для решения прямой геодезической задачи крайне важно ввести с клавиатуры цифру 4 и нажать клавишу ВВОД. В следующем подменю аналогичным образом выбирают пункт «РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАЛЫХ И СРЕДНИХ РАССТОЯНИЙ» (ᴛ.ᴇ. ввести цифру 1 и нажать клавишу ВВОД). После этого программа переходит в режим ввода координат начальной точки. Сначала вводят значение широты и нажимают клавишу ВВОД. Потом – значения долготы, азимута и расстояния, нажимая после каждого значения клавишу ВВОД.

Важно:Угловые величины (ᴛ.ᴇ. значения широты, долготы, азимута) должны вводится в следующем формате: ГММСС.долисекунд. К примеру значение 52°20'00.000''вводят как 552000, а значение 65°12'34.567'' вводят как 651234.567

После того как введено значение расстояния и нажата клавиша ВВОД, программа решает прямую геодезическую задачу (вычисляет координаты конечной точки и обратный азимут) и выводит результат на экран.

Чтобы продолжить решать прямую геодезическую задачу для других точек, вводят с клавиатуры цифру 1 и нажимают клавишу ВВОД. Для завершения работы с модулем решения прямой геодезической задачи, вводят с клавиатуры цифру 2 и нажимают ВВОД:

-

Для решения обратной геодезической задачи в главном меню выбирают пункт 5. В следующем подменю аналогичным образом выбирают пункт «РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАЛЫХ И СРЕДНИХ РАССТОЯНИЙ» (ᴛ.ᴇ. вводят цифру 1 и нажимают клавишу ВВОД). После этого программа переходит в режим ввода координат начальной и конечной точки. После ввода каждого значения широты или долготы нажимают клавишу ВВОД. После того, как введены координаты обех точек, программа решает обратную геодезическую задачу и выводит результат на экран.

Чтобы продолжить решать обратную геодезическую задачу для других точек, вводят с клавиатуры цифру 1 и нажимают клавишу ВВОД. Для завершения работы с модулем решения обратной геодезической задачи, вводят с клавиатуры цифру 2 и нажимают ВВОД:

4. Решение задач проекции Гаусса – Крюгера


Читайте также


  • - Краткие теоретические сведения

    Использование результатов топографо-геодезических работ в инженерных целях существенно облегчается, если эти результаты отнесены к простейшей — прямоугольной системе координат на плоскости. В этой системе многие геодезические задачи на небольших участках местности и... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    Длина дуги меридиана и параллели. Размеры рамок трапеций топографических карт Херсон-2005 Длина дуги меридиана SM между точками с широтами B1 и B2 определяется из решения эллиптического интеграла вида: (1.1) который, как... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    1. Перечень основных глобальных характеристик числовой функции: - ООФ и ОЗФ; - нули и промежутки знакопостоянства функции; - четность, нечетность функции; - периодичность; - промежутки монотонности функции; - локальные экстремумы функции; - наибольшее и наименьшее... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    Всего 11 занятий. Тема 1. Введение в математический анализ Занятие 1. Множества точек на координатной прямой. Занятие 2. Множества точек на координатной плоскости. Занятие 3. Начальный тест. Занятие 4. Ограниченность множеств. Занятие 5. Множества точек на... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    1. Определения ограниченных множеств: ограниченного сверху множества; ограниченного снизу множества; ограниченного множества: 1)множество называют ограниченным сверху, если $ число , такое что для выполняется неравенство ; число b называется в этом случае числом,... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    . Краткие теоретические сведения 1.Полярная система координат и полярные координаты точки: полярная система координат на плоскости включает в себя точку O, называемую полюсом, и направленный луч Op, называемый полярной осью; на полярной оси вводится масштабная... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    1. Определение обратной функции: Если функция задает биективное отображение , то функция , называется обратной функцией к функции . Функции , и , называются взаимно обратными. 2. Графики взаимно обратных функций: Если у обратной функции переобозначить аргумент на x,... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    Описание экспериментальной установки Опыт № 2. Исследование внецентренного растяжения длинных стержней Цель опыта 1. Экспериментальное определение распределения напряжений по высоте сечения бруса при внецентренном растяжении коротких стержней. 2.... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    Рассматривается статически неопределимая рама (рис. 18).     Задача 1 раз статически неопределима (четыре неизвестных реакции в шарнирно неподвижных опорах, можно составить три независимых уравнения равновесия). Решаем задачу методом сил. Каноническое... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    Описание экспериментальной установки Эксперимент проводят на статически определимой раме (рис. 13), закрепленной на станине с помощью двух шарнирных опор: подвижной А и неподвижной С. Поперечное сечение рамы – прямоугольник 4,5 × 30 мм, при этом плоскость наименьшей... [читать подробенее]