Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Физика ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
просмотров - 195

1. Цель работы: изучение методов измерения физических величин, практических приемов обработки и анализа результатов измерений. Изучение нониусов.

2. Краткая теория

Методы измерения физических величин. Погрешности измерений

Измерение в широком смысле слова — это операция, посредством которой устанавливается численное соотношение между измеряемой величиной и заранее выбранной мерой. Мы будем рассматривать измерение физических величин.

Физическая величина — это свойство, общее в качественном отношении многим объектам (физическим системам, их состояниям и происходящим в них процессам), но в количественном отношении — индивидуальное для каждого физического объекта.

Измерить физическую величину — это значит сравнить её с другой, однородной величиной, принятой за единицу измерения.

Для измерения физических величин применяются различные технические средства, специально для этого предназначенные и имеющие нормированные метрологические свойства.

Поясним некоторые из указанных средств измерений.

Мера — это средство измерений в виде тела или устройства, предназначенного для воспроизведения величин одного или нескольких размеров, значения которых известны с крайне важной для измерений точностью. Примером меры могут служить гиря, измерительная колба, масштабная линœейка.

В отличие от меры измерительный прибор не воспроизводит известное значение величины. Измеряемая величина в нём преобразуется в показание или сигнал, пропорциональный измеряемой величинœе в форме, доступной для непосредственного воспроизведения. Примером измерительного прибора могут слу­жить амперметр, вольтметр, термопара и пр.

Измерения физических величин могут отличаться друг от друга особенностями технического или методического характера. С методической точки зрения измерения физических величин поддаются определённой систематизации. Их можно, к примеру, подразделять на прямые и косвенные.

В случае если измеряемая величина непосредственно сравнивается с соответствующей единицей её измерения или определяется путём отсчёта показаний измерительного прибора, градуированного в соответственных единицах, то такое измерение принято называть прямым. К примеру, измерения толщины проволоки микрометром, промежутка времени секундомером, силы тока амперметром — являются прямыми.

Большинство физических величин измеряется косвенным путём. Косвенным принято называть такое измерение, при котором искомая физическая величина непосредственно не измеряется, а вычисляется по результатам прямых измерений некоторых вспомогательных величин, связанных с искомой величиной определённой функциональной зависимостью.

При любых измерениях физических величин получаются результаты, которые неизбежно содержат погрешности (ошибки). Эти погрешности обусловлены самыми разнообразными причинами (несовершенство мер и измерительных приборов, несовершенство наших чувств). Результаты измерений являются, в связи с этим лишь приближёнными, более или менее близкими к истинным значениям измеряемых величин.

Разность между истинным значением измеряемой величины х и фактически измеренным принято называть истинной абсолютной погрешностью, или ошибкой измерения:

(1)

 
 
Отношение истинной абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины х принято называть истинной относительной погрешностью измерения:

. (2)

Относительная погрешность — величина отвлечённая, она выражается в долях единицы или в процентах и в связи с этим позволяет сравнивать точность независимых друг от друга выполненных измерений (к примеру, точность измерения диаметра и высоты цилиндра).

Так как никакое измерение не может дать истинного значения измеряемой величины, то задачей измерения любой физической величины является нахождение приближённого наиболее вероятного значения этой величины, а также определœение и оценка допущенной при этом погрешности.

Погрешности (ошибки), которые имеют место при измерении физических величин, подразделяются на три группы: грубые, систематические, случайные. Грубые ошибки (промахи)— это ошибки, явно искажающие результаты измерений. Причинами грубых ошибок бывают неисправности эксперимен­тальной установки или измерительного прибора. Но чаще всœего это следствие ошибок самого экспериментатора: неправильное определœение цены делœения измерительного прибора, неверный отсчёт делœений, но шкале прибора, ошибочная запись результатов прямых измерений и т. п. В дальнейшем изложении, будем предполагать, что измерения не содержат грубых ошибок (промахов).

Систематические погрешности обусловлены действием постоянных по величинœе и направлению факторов. К примеру, неточностью изготовления мер, неправильной градуировкой шкал или неправильной установкой измерительных приборов, а также постоянным и односторонним воздействием на измеряемую величину или измерительную установку какого-либо внешнего фактора.

При повторных измерениях данной величины в одинаковых условиях систематическая погрешность каждый раз повторяется, имея одну и ту же величину и знак, или изменяется по определённому закону. При внимательном анализе принципа действия применяемых приборов, методики измерения и окружающих условий, систематические погрешности можно либо исключить в самом процессе измерения, либо учесть в окончательном результате измерений, внеся соответствующую поправку.

Случайные погрешности обусловлены действием большого числа самых разнообразных, как правило, переменных факторов, в своём большинстве не поддающихся учёту и контролю и проявляющихся в каждом отдельном измерении по-разному. В силу неупорядоченности совокупного действия этих факторов предвидеть появление случайной погрешности и предугадать её величину и знак невозможно. Погрешность такого рода потому и принято называть случайной, что появление её — дело случая, появление её не вытекает из данных условий эксперимента. Она может быть, а может и не быть.

Случайные погрешности проявляют себя в том, что при не­изменных условиях эксперимента и при полностью исключённых систематических погрешностях результаты повторных измерений одной и тон же величины оказываются несколько отличающимися друг от друга. Случайные погрешности, по указанным выше причинам не бывают исключены из результатов измерений, как, к примеру, погрешности систематические.

3акон распределœения случайных погрешностей

Полностью избежать или исключить совершенно случайные погрешности невозможно, так как факторы, их вызывающие, не поддаются учёту и носят случайный характер. Возникает вопрос: как уменьшить влияние случайных погрешностей на окончательный результат измерения и как оценить точность и достоверность последнего? Ответ на данный вопрос даёт теория вероятностей. Теория вероятностей — это математическая наука, выясняющая закономерности случайных событий (явлений), которые проявляются при действии большого числа случайных факторов.

Случайные погрешности измерений относятся к группе не­прерывных величин. Непрерывные величины характеризуются бесчисленным множеством возможных значений. Вероятность любого значения непрерывной случайной величины бесконечно мала. По этой причине, чтобы выявить распределœение вероятностей для какой-то непрерывной случайной величины, к примеру, величины , рассматривают ряд интервалов значений этой величины и подсчитывают частоты попадания значений величины в каждый интервал . Таблица, в которой приведены интервалы в порядке их распределœения вдоль оси абсцисс и соответствующие им частоты, принято называть статистическим рядом (табл. 1).

Таблица 1

Интервалы I . . . . . . . . . . . . . .
Частоты Р* . . . . . . . . . . . . . .

Статистический ряд графически представляется в виде ступенчатой кривой, которую называют гистограммой. При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы возможных значений случайной величины, а по оси ординат — частоты или число случаев, когда значение случайной величины попадает в данный интервал. Для большинства интересующих нас случайных погрешностей гистограмма имеет вид, показанный на рис. 1. На этом рисунке высота͵ а следовательно, и площадь прямоугольника для каждого интервала ошибок пропорциональны числу опытов, в которых данная ошибка наблюдалась.

При увеличении числа опытов (измерений) и уменьшении интервала разбиения оси абсцисс гистограмма теряет свой ступенчатый характер и стремится (переходит) к плавной кривой (рис. 2). Такую кривую называют кривой плотности распределœения для данной случайной величины, а уравнение, описывающее эту кривую, принято называть законом распределœения случайной величины.

Считается, что случайная величина полностью определœена, если известен закон её распределœения. Этот закон может быть представлен (задан) в интегральной или дифференциальной форме. Интегральный закон распределœения случайной величины обозначается символом и принято называть функцией распределœения. Производная функция от принято называть плотностью вероятности случайной величины X или дифференциальным законом распределœения:

.

При решении многих практических задач нет крайне важности характеризовать случайную величину исчерпывающим образом. Достаточно бывает указать только её некоторые числовые характеристики, к примеру, её математическое ожидание (можно писать ) и дисперсию (можно писать ).

Стоит сказать, что для непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности математическое ожидание вычисляется по формуле

. (3)

Стоит сказать, что для непрерывной случайной величины Xдисперсия определяется по формуле:

. (4)

Положительный квадратный корень из дисперсии обозначается символом и принято называть средним квадратическим отклонением (сокращенно с. к. о.):

. (5)

При конечном числе опытов в качестве оценки принимают среднее арифметическое наблюденных (измеренных) значений ,т. е.

. (6)

Для оценки дисперсии (с. к. о.) используют формулу

. (7)

Следует иметь в виду, что среднее арифметическое случайной величины само является случайной величиной, так как вычисляется на основании ограниченного числа опытов. Разброс значений величиныхарактеризуют средним квадратическим отклонением , ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ связало с упомянутым выше соотношением:

. (8)

При ограниченном числе опытов в качестве оценки принимают отношение

. (9)

На основании закона больших чисел всœе три оценки при увеличении числа опытов приближаются (сходятся по вероятности) соответственно к и

Практика обработки статистических данных показывает, что числовые характеристики случайной величины ( и ) существенно зависят от вида предполагаемого закона распределœения рассматриваемой случайной величины.

Предельная кривая, к которой в большинстве случаев стремятся гистограммы случайных погрешностей измерений физических величин при неограниченном увеличении числа опытов, имеет колоколообразный вид и принято называть кривой Гаусса (рис. 2). Аналитическое выражение этой кривой принято называть законом распределœения Гаусса или законом нормального распределœения. Важно заметить, что для случайной величины данный закон можно записать в виде:

. (10)

где — плотность вероятности; и — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение — параметры нормального распределœения, физический смысл и способ вычисления которых были пояснены выше.

При рассмотрении свойств и характеристик распределœения случайных погрешностей мы ограничимся только нормальным законом, так как случайные погрешности измерений чаще всœего распределяются нормально (по закону Гаусса). Это означает:

1) случайная погрешность измерения может принимать любые значения в интервале

2) случайные погрешности, равные по абсолютной величинœе, но противоположные по знаку, равновероятны, то есть встречаются одинаково часто;

3) чембольше по абсолютной величинœе случайные погрешности, тем они менее вероятны, то есть встречаются реже.


Читайте также


  • - ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

    1. Цель работы: изучение методов измерения физических величин, практических приемов обработки и анализа результатов измерений. Изучение нониусов. 2. Краткая теория Методы измерения физических величин. Погрешности измерений Измерение в широком смысле слова — это... [читать подробенее]