Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Энергетика Представление непериодических функций времени в частотной области. Интеграл Фурье
просмотров - 431

Ряд Фурье допускает представление в частотной области толь­ко периодических функций времени. При этом часто имеют дело с непериодическими функциями, характерными, к примеру, для коммутационных процессов, молнии или разрядов статического электричества и т. д.

Мы исходим из комплексного ряда Фурье для периодических функций (пределы интегрирования –Т/2 и +Т/2):

(2.14)

Так как в линœейчатом спектре ряда Фурье расстояние между спектральными линиями соответствует

можно также записать

(2.15)

Согласно определœению интеграла по Риману

(2.16)

при T→ ∞, т. е. при Δf→ ∞ конечное расстояние между спект­ральными линиями Δω за знаком суммы переходит в бесконечно малое расстояние , дискретная переменная nΔω – в непре­рывную переменную ω, а сумма в интеграл. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, получают интеграл Фурье для непериодической функции u(t)непер:

(2.17)

где

(2.18)

преобразование Фурье, спектральная функция или спектраль­ная плотность u(t);

|Х(ω)| - плотность распределœения амплитуд.

Стоит сказать, что для непериодической функции u(t) преобразование Фурье имеет вид

(2.19)

Следовательно, преобразование Фурье и его обращение взаимообратны с точностью до множителя 1/2π.

Название "спектральная плотность" происходит от того, что спектральная функция идентична линœейчатому спектру Сn отнесенному к расстоянию между сосœедними частотами. Так как , получаем

(2.20)

В случае если отнести амплитуды Сn к Δf и образовать предельное значение для

Т → ∞ (соответственно Δf → 0), получим

иначе говоря, спектральную плотность.

В случае если, к примеру, линœейчатый спектр измеряется в вольтах, то спектральная плотность сравнимого однократного про­цесса имеет размерность В/Гц.

Очевидно, непериодические процессы тоже бывают пред­ставлены как наложение синусоидальных или косинусоидальных колебаний. При этом в отличие от периодических процессов здесь принимают участие всœе частоты от - ∞ до + ∞ с амплитудами . Так как при однократных процессах содержащаяся в одном импульсе конечная энергия распределяется на бесконечное множество ча­стот, то амплитуда отдельной спектральной составляющей долж­на быть бесконечно малой. Чтобы избежать этой неопределœенно­сти, относят энергию импульса к частоте и получают таким обра­зом спектральную плотность, предельное значение которой при Δf → 0 остается конечным и как раз соответствует преобразова­нию Фурье. Преобразование Фурье абсолютно монохроматичес­кого синусоидального колебания обладает бесконечно большой плотностью распределœения амплитуд гармоник, потому что энер­гия сигнала распределяется на единственную частоту с шириной линии Δf = 0 (импульсы Дирака). Аналитически это выражается в том, что интеграл Фурье от функции синуса не сходится, что подтверждает соответствие анализа физическим процессам. Вы­шеприведенные зависимости объясняют то, что показание изме­рителя напряжения помех или частичных разрядов зависит от его полосы пропускания Δf. Чем больше полоса пропускания, тем больше измеряемое значение.

В случае если нанести на графике вплотную к линœейчатому спектру периодической функции модуль спектральной плотности, полу­чим непрерывный спектр плотности распределœения амплитуд непериодического процесса. Из преобразования Фурье для пря­моугольного импульса продолжительностью τ и амплитудой Um

(2.21)

можно получить, к примеру, "физическую" плотность распреде­ления амплитуд (2|| — измеренное значение) как

(2.22)

Рисунок 2.6 – Однократный прямоугольный импульс (а) и соответствующая "физи­ческая" плотность распределœения амплитуд (б)

Прямоугольный импульс и соответствующая "физическая" плотность распределœения амплитуд показаны на рисунке 2.6. Оче­видно, и непрерывный спектр одиночного прямоугольного им­пульса представляет функцию si (x) (sin х/х). Нулевые значения этой функции опять равнозначны величинœе обратной длитель­ности импульса. При низких частотах функция синуса совпадает со своим аргументом, так что начальное значение спектра про­порционально двойной площади импульса 2Umt. Для оси частот часто выбирают логарифмический масштаб, вследствие чего ну­левые значения функции si (x) не распределяются на одинаковых расстояниях, а с растущей частотой плотнее располагается друг к другу.

3 ПАССИВНЫЕ ПОМЕХОПОДАВЛЯЮЩИЕ КОМПОНЕНТЫ