Категории
Электротехника 
Волновой характер электромагнитного поля просмотров - 318
Электромагнитное поле, возникающее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. При распространении периодического процесса с конечной скоростью происходит запаздывание его по фазе, следствием этого является волновой характер распространения.
Докажем волновой характер электромагнитного поля математически, сводя уравнение Максвелла к уравнениям известного вида, которые заведомо описывают волновой процесс.
Первые два уравнения Максвелла в комплексном виде: 
и 
бывают приведены к одному. Для этого применим операцию rot к правой и левой частям первого уравнения:
. (10.69)
Отсюда с помощью второго уравнения можно исключить 
:
. (10.70)
Пусть среда изотропна и однородна и плотность зарядов r отсутствует (r=0). Используем известное соотношение
; (10.71)
, (10.72)
где 
, k – постоянная распространения электромагнитной волны (иногда используются термины «фазовая постоянная», «волновое число»).
Аналогично можно получить уравнение относительно :
. (10.73)
Уравнения (10.72) и (10.73) в математической физике называются уравнениями Гельмгольца (волновыми уравнениями). Эти уравнения описывают стационарные волновые процессы, то есть распространение в пространстве волн с некоторой постоянной частотой. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, переменность во времени электрических или магнитных полей неизбежно приводит к распространению в пространстве электромагнитных волн.
Получим простейшее решение волнового уравнения и выясним его физический смысл.
В системе координат, изображенной на рис. 10.13, исследуемая область V лежит далеко от источника O, так что любые две ее точки, расположенные на перпендикулярной к оси OZ площадке, можно считать находящимися на одинаковых расстояниях от O. Тогда можно считать отрезки OM1 и OM2 равными и параллельными, ᴛ.ᴇ. точки M1 и M2 по отношению к источнику совершенно равноправны. Тогда изменениями электромагнитного поля от OM1 к OM2 можно пренебречь и считать, что во всей области V процесс не зависит от координат х и у:
.
Отсюда вытекает упрощение оператора Лапласа
(10.74)
и волнового уравнения
. (10.75)
Решение такого уравнения известно:
. (10.76)
Здесь 
и 
– произвольные коэффициенты, включающие множитель ejwt; 
– единичный вектор, указывающий направление 
.
Выделим временной множитель:
(10.77)
и, выделив вещественную часть, получим выражение вектора :
(10.78)
(коэффициенты А и В считаем вещественными).
В момент времени t1 магнитное поле, выражаемое первым членом (10.78), распределяется вдоль оси z по закону: Acos(wt1-kz), а по прошествии времени Dt в момент t2= t1+Dt это распределение примет вид: Acos(wt1+wDt-kz), ᴛ.ᴇ. окажется смещенным в положительном направлении на расстояние Dz, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ легко определить из условия wDt-kz=0. Отсюда с учетом k2=w2em найдем скорость перемещения Dz/Dt, которая равна фазовой скорости волны
. (10.79)
То есть гармоническое распределение поля непрерывно перемещается в направлении положительной оси z с постоянной скоростью u. Это – бегущая волна, а u – ее фазовая скорость. В вакууме u=c=1/e0m0=2,998·108 м/с.
В среде с проницаемостями e и m фазовая скорость волны меньше в 
раз. Длина волны
. (10.80)
Второй член уравнения (10.78) отличается только знаком при k, следовательно, соответствует волне, распространяющейся со скоростью (-u), ᴛ.ᴇ. в противоположном направлении. В рассмотренном примере обратная волна должна отсутствовать (В=0). Найденная волна является плоской и однородной.«Плоская» волна означает, что в любой плоскости z=const в заданный момент времени фаза процесса постоянна. С течением времени плоскость постоянной фазы перемещается в направлении распространения волны со скоростью u и принято называть фронтом волны. «Однородная» волна означает, что амплитуда волны постоянна (не зависит от координат).
Сферические волны возбуждаются точечным источником. Οʜᴎ имеют волновые фронты в виде концентрических сфер.
Цилиндрические волны возбуждаются бесконечной нитью. Οʜᴎ имеют волновые фронты в виде цилиндров.
Читайте также
Электромагнитное поле, возникающее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. При распространении периодического процесса с конечной скоростью происходит запаздывание его по фазе,... [читать подробенее]