Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Электротехника Граничные условия
просмотров - 363

Под граничными понимают условия, которым подчиняется поле на границе раздела двух сред с разными электрическими свойствами.

Для упрощения решения задачи нахождения граничных условий векторы электромагнитного поля принято разлагать на нормальные и тангенциальные составляющие и рассматривать отдельно поведение нормальных и тангенциальных составляющих.

1. Граничные условия для нормальных составляющих векторов магнитного поля

Пусть S – поверхность раздела двух сред 1 и 2 (рис. 10.2). Выделим в окрестности точки А, лежащей на поверхности S, элементарный цилиндрический объём с основанием ΔS и высотой Δh.

Вектор магнитной индукции представим в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих:

(10.1)

и рассмотрим поведение нормальной и тангенциальной составляющих отдельно. Поток магнитной индукции через суммарную поверхность элементарного цилиндра:

, (10.2)

где , – векторы магнитной индукции в средах 1 и 2; – поток через боковую поверхность; , – единичные векторы нормали к поверхности раздела в средах 1 и 2 ( ). При приближенное равенство становится точным. При поток через боковую поверхность равен нулю – :

. (10.3)

Из закона непрерывности магнитных силовых линий

или , (10.4)

то есть нормальные составляющие вектора магнитной индукции на границе раздела двух сред непрерывны.

Соответственно напряженность магнитного поля на границе раздела испытывает скачок – изменяется обратно пропорционально магнитной проницаемости:

. (10.5)

На границе с идеальным проводником Hn=0.

2. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического поля

Методика определœения граничных условий для нормальных составляющих электрического поля такая же, как и для магнитного поля, но для электрического поля . При наличии поверхностных электрических зарядов (rпов¹0) можно записать аналогично случаю магнитного поля:

, (10.6)

где ; q – заряд, располагающийся в поверхностном слое.

Тогда

. (10.7)

Это означает, что при наличии заряженной поверхности раздела двух сред нормальная составляющая вектора электрического смещения изменяется скачком на величину плотности поверхностного заряда в исследуемой точке.

На границе двух идеальных диэлектриков (rпов=0)

; . (10.8)

На границе с идеальным проводником

; . (10.9)

3. Граничные условия для тангенциальных составляющих векторов магнитного поля

Выделим в окрестностях точки A на границе раздела двух сред (рис. 10.3) достаточно малый (чтобы считать векторы в пределах его сторон постоянными) прямоугольный контур L со сторонами Dl и Dh в плоскости векторов и . Вектор образует нормаль к плоскости, образованной векторами и , и лежит в плоскости границы раздела. В обеих областях (1 и 2) протекают токи, которые могут включать как токи проводимости, так и токи смещения. Применяя закон полного тока, получаем:

. (10.10)

При

, (10.11)

Тогда

(10.12)

или

, (10.13)

то есть тангенциальные составляющие вектора напряженности магнитного поля на границе раздела двух сред непрерывны (в случае сред с конечной проводимостью).

В случае если же одна из сред – идеальный проводник, проводимость его бесконечна и глубина проникновения поля равна нулю на любой частоте. В результате токи проводимости протекают по поверхностному слою нулевой толщины, в связи с этим выражение (10.11) становится не равным нулю.

Для характеристики поверхностных токов вводят понятие плотности поверхностного тока:

, (10.14)

где – единичный вектор, касательный к линиям тока в данной точке; Dl – пересекаемый током отрезок линии, перпендикулярной к вектору .

Тогда формула для циркуляции вектора напряженности перепишется в виде:

. (10.15)

С учетом того, что поле в идеальном проводнике равно нулю ( ):

. (10.16)

Эта формула позволяет определить плотность поверхностного тока по известному магнитному полю на границе идеального проводника.

С учетом того, что , можно записать:

, (10.17)

то есть поверхностный ток на границе раздела с идеальным проводником протекает в направлении, перпендикулярном к вектору , и численно равен напряженности магнитного поля.

4. Граничные условия для тангенциальных составляющих векторов электрического поля

Методика определœения граничных условий для тангенциальных составляющих векторов электрического поля такая же, как и для векторов магнитного поля, но вместо закона полного тока следует воспользоваться законом электромагнитной индукции. В соответствии с этим законом

, (10.18)

отсюда для границы раздела двух диэлектриков

; . (10.19)

На границе с идеальным проводником , то есть существует только нормальная составляющая вектора электрического поля.


Читайте также


  • - ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ для нахождения постоянных интегрирования.

    1. На границе проводник/диэлектрик продольные составляющие электрического поля непрерывны. 2. На границе металл/диэлектрик тангенциальные составляющие электрического поля непрерывны. 3.     Согласно закону возрастания и убывания магнитного поля в качестве... [читать подробенее]


  • - Граничные условия первого рода.

    Лекция 4. Прочие угрозы К последней группе отнесем все остальные угрозы и программные реализации,влияющие на функционирование и безопасность компьютерной системы.В частности,большую часть угроз данной группы составляют всевозможные программы-сниферы,позволяющие... [читать подробенее]


  • - Приближенные граничные условия Леонтовича-Щукина.

    Условия Задача определения поля в проводящих средах (в металлах) имеет важное значение. Ее решение можно упростить введением приближенных граничных условий. Граничные условия Леонтовича-Щукина выражают связь между векторами и в однородной среде. В металле и волна... [читать подробенее]


  • - Граничные условия для векторов ЭМП

    **для магнитного самостоятельно** 1. Нормальные составляющие Соотношения, показывающие связь между значениями векторов ЭМП в разных средах, у поверхности раздела называют граничными условиями. (Используют интегральную запись уравнений Максвелла). На поверхности... [читать подробенее]


  • - Периодические граничные условия Борна-Кармана

    Может показаться, что приведенный выше расчет плотности состояний не совсем правильный из-за принятых нами допущений о закреплении атомов на концах линейной конечной цепочки (поскольку такое условие приводит к тому, что существуют только стоячие, а не бегущие волны). ... [читать подробенее]


  • - Приближённые граничные условия

    Приведём приближённые граничные условия на поверхности достаточно хорошего проводящего тела для результирующего поля в среде, окружающей это тело. Эти условия позволяют отделить решение задачи о поле в окружающей тело среде от вопроса о распределении поля в теле. ... [читать подробенее]


  • - Граничные условия

    На практике имеем дело не с бесконечно однородными, а с кусочно-однородными телами. При применении формул преобразования (Остроградского и Стокса) мы оговаривали, что их непосредственное использование требует конечности и непрерывности подынтегральной функции и их... [читать подробенее]


  • - У этого уравнения есть свои граничные условия. Оно справедливо для идеальных газов при нормальном (1 атм.) и близких к нормальному давлениях (10-12 атм.).

    Для определения многих физических свойств природных газов используется уравнение состояния. Уравнением состояния называется аналитическая зависимость между параметрами, описывающими изменение состояние вещества. В качестве таких параметров используется давление,... [читать подробенее]


  • - Граничные условия для касательных составляющих векторов поля

    Найдем граничные условия для касательных составляющих векторов напряженностей поля. Для этого сначала применим интегральную форму первого уравнения Максвелла к контуру (рис. 2б). Пусть и — орты нормали и касательной к поверхности S в точке (предполагаем, что нормаль и... [читать подробенее]


  • - Граничные условия для касательных составляющих векторов поля

    Найдем граничные условия для касательных составляющих векторов напряженностей поля. Для этого сначала применим интегральную форму первого уравнения Максвелла к контуру (рис. 2б). Пусть и — орты нормали и касательной к поверхности S в точке (предполагаем, что нормаль и... [читать подробенее]