Категории
Электроника
Векторний добуток векторів просмотров - 560
Скалярний добуток векторів
Означення. Скалярним добутком двох векторів і
називається число (скаляр), яке дорівнює сумі добутків їх відповідних координат.
Отже,
Теорема. Скалярний добуток двох ненульових векторів і
дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.
,
де j — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:
.
Наслідок: Кут між двома векторами і
можна знайти за формулою:
.
Властивості скалярного добутку:
1. . 4.
.
2. . 5.
якщо
і навпаки,
3. .
якщо
.
Означення. Векторним добутком вектора на вектор
називається вектор
З означення випливає:
1) довжина вектора , де j — кут між двома векторами;
2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів
і
![]() |
3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори
і
, то поворот вектора
до вектора
відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.
Геометричний зміст: Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.
Властивості векторного добутку:
1. , якщо
і
— колінеарні вектори.
2. .
3. .
4. .
Якщо вектори-множники взаємно перпендикулярні, то модуль векторного добутку дорівнює добутку модулів співмножників:
якщо
.
Якщо вектори-множники колінеарні, то і векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, тобто
.
Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає:
. З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:
Механічний зміст: Якщо є вектор сили, прикладеної до деякої точки В, а вектор
, спрямований з точки А в точку В, то векторний добуток
будемоментом
сили
відносно точки А.