Категории
Скалярний добуток векторів
Означення. Скалярним добутком двох векторів 
і 
називається число (скаляр), яке дорівнює сумі добутків їх відповідних координат.
Отже, 
Теорема. Скалярний добуток двох ненульових векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.
,
де j — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:
.
Наслідок: Кут між двома векторами 
і 
можна знайти за формулою:
.
Властивості скалярного добутку:
1. 
. 4. 
.
2. 
. 5. 
якщо 
і навпаки,
3. 
. якщо 
.
Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор
З означення випливає:
1) довжина вектора 
, де j — кут між двома векторами;
2) вектор 
перпендикулярний до кожного з векторів і 
Рис. 3.2
|
3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.
Геометричний зміст: Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.
Властивості векторного добутку:
1. 
, якщо 
і 
— колінеарні вектори.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
Якщо вектори-множники взаємно перпендикулярні, то модуль векторного добутку дорівнює добутку модулів співмножників:
якщо 
.
Якщо вектори-множники колінеарні, то 
і векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, тобто
.
Знайдемо векторні добутки одиничних векторів 
. З колінеарності векторів випливає: 
. З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:
Механічний зміст: Якщо 
є вектор сили, прикладеної до деякої точки В, а вектор 
, спрямований з точки А в точку В, то векторний добуток 
будемоментом 
сили відносно точки А.