Open Library - открытая библиотека учебной информации

Категории

Скалярний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює сумі добутків їх відповідних координат.

Отже,

Теорема. Скалярний добуток двох ненульових векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.

,

де j — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:

.

Наслідок: Кут між двома векторами і можна знайти за формулою:

_.

Властивості скалярного добутку:

1. . 4. .

2. . 5. якщо і навпаки,

3. . якщо .

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор

З означення випливає:

1) довжина вектора , де j — кут між двома векторами;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і

Рис. 3.2

3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Геометричний зміст: Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.

Властивості векторного добутку:

1. , якщо і — колінеарні вектори.

2. .

3. .

4. .

Якщо вектори-множники взаємно перпендикулярні, то модуль векторного добутку дорівнює добутку модулів співмножників:

якщо .

Якщо вектори-множники колінеарні, то і векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, тобто

.

Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осœей прямокутної системи координат, маємо:

Механічний зміст: Якщо є вектор сили, прикладеної до деякої точки В, а вектор , спрямований з точки А в точку В, то векторний добуток будемоментом сили відносно точки А.