Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Дом Тема: Електричне поле. Закон Кулона. Теорема Гаусса. Застосування теореми Гаусса.
просмотров - 537

Лекція № 20.

Якщо частинки здатні взаємодіяти силами, що подібно силам тяжіння обернено пропорційні квадрату відстані між частинками, але в багато разів більше сил тяжіння, то говорять, що частинки мають елœектричний заряд. Електричний заряд – це фізична величина, що є кількісною мірою здатності частинок до елœектромагнітних взаємодій. . Йому властиві наступні фундаментальні властивості:

- елœектричний заряд існує в двох видах: як позитивний, так і негативний;

- у будь–якій елœектрично ізольованій системі алгебраїчна сума зарядів не змінюється, це твердження виражає закон збереження елœектричного заряду:

;

- елœектричний заряд є релятивістськи інваріантним, тобто його величина не залежить від системи відліку, а виходить, не залежить від того, рухається він або знаходиться в стані спокою;

- елœектричні заряди дискретні, тобто будь–який заряд можна представити як суму деякої кількості елœементарних зарядів: q = ± z×e, где e = 1,6×10–19Кл.

Відповідно до сучасних уявлень, взаємодія між зарядами здійснюється через поле. Всякий елœектричний заряд q змінює певним чином властивості оточуючого його простору, тобто, створює елœектричне поле. Електричне поле – це вид матерії, за допомогою якої взаємодіють елœектричні заряди. Електричне поле нерухомих елœектричних зарядів називають елœектростатичним. Це поле виявляє себе в тім, що поміщений у яку–небудь його точку інший, «пробний» заряд випробовує дію сили. Відношення сили до заряду для даної точки поля є величиною сталою. Це відношення називають напруженістю елœектричного поля:

.

Напруженість – силова характеристика елœектричного поля. Її визначають як силу, що діє на одиничний пробний нерухомий позитивний заряд зі сторони елœектричного поля.

Основний закон елœектростатики – закон взаємодії точкових елœектричних зарядів (закон Кулона): Сила взаємодії точкових зарядів прямо пропорційний добуткові зарядів і обернено пропорційна квадратові відстані між ними:

,

де e0 – елœектрична стала; . – орт радіус–вектора, проведений від першого заряду до другого. Напруженість поля нерухомого точкового заряду q на відстані r від нього можна представити як:

.

Якщо поле створюється позитивним зарядом, то напруженість збігається з радіус–вектором, проведеним від заряду, якщо негативним, то вектор спрямований у протилежну сторону. Якщо поле створюється системою зарядів, то напруженість у будь-якій точці визначається за принципом суперпозиції: вона дорівнює векторній сумі напруженостей усіх полів у даній точці:

Якщо поле створюється розподіленими зарядами, то для зручності розрахунків полів вводять поняття об'ємної, поверхневої і лінійної густин розподілу зарядів:

, , ,

де dq – заряд, який знаходиться відповідно в об’ємі dV, на поверхні dS, і на довжині . З урахуванням цих розподілів формула напруженості приймає вигляд:

, , .

Отримані формули дозволяють по відомих розподілах зарядів знайти напруженості полів у будь-якій точці.

Для геометричного опису полів вводять поняття ліній напруженості. Їх проводять так, щоб дотична до них у кожній точці збігалася з напрямком вектора напруженості, а густота ліній, тобто число ліній, що пронизують одиничну площадку, перпендикулярну лініям у даній точці, була б пропорційна модулю вектора напруженості. Крім того, цим лініям приписують напрямок, що збігається з напрямком вектора . По отриманій картині можна легко визначити конфігурацію даного елœектричного поля, тобто знайти напрямок і модуль вектора в різних точках поля. Якщо густота ліній у будь–якій точці стала, то поле називають однорідним. Потоком ліній напруженості називають число ліній, що пронизують елœементарну площадку dS, нормаль до якої складає кут a з вектором напруженості:

,

Якщо мається деяка довільна поверхня S, то потік вектора крізь неї: . Ця величина алгебраїчна: вона залежить не тільки від конфігурації поля , але і від вибору напрямку нормалі. У випадку замкнених поверхонь прийнято нормаль брати назовні області, що охоплюється цими поверхнями, тобто вибирати зовнішню нормаль.

Теорема Гаусса: Потік вектора крізь замкнуту поверхню дорівнює відношенню алгебраїчної суми зарядів усередині цієї поверхні до елœектричній сталій e0: .

З теореми Гаусса випливає, що при будь–якому переміщенні зарядів усередині поверхні потік ліній напруженості через межу поверхні не змінюється.

Теорема Гаусса в диференціальній формі. Нехай заряд q розподілений в об’ємі V, який охоплюється замкнутою поверхнею S, із середньою об'ємною густиною . Тоді можна записати: . Підставимо цю формулу в математичне вираження теореми Гаусса і розділимо обидві частини отриманого рівняння на V. У результаті одержимо:

.

Визначимо напруженість у центрі виділеного об’єму. Для цього спрямуємо об’єм V до нуля, стягаючи його до цікавлячій нас точці поля. При цьому середня густина буде наближатись до густини r в даній точці поля, тобто:

.

Величину, що є межею відношення до V при V ® 0, називають дивергенцією поля и позначають dіv: . Після відповідної заміни теорема Гаусса приймає вигляд:

.

Отримане вираження називається теоремою Гаусса в диференціальній формі.

У декартовій системі координат вектор можна представити в наступному вигляді: . Введемо векторний диференціальний оператор набла: . Помножимо скалярно вектор набла на вектор напруженості: . Тоді теорема Гаусса в диференціальній формі приймає вигляд:

.

У диференціальній формі теорема Гаусса є локальною теоремою: дивергенція поля напруженості в даній точці залежить тільки від густини елœектричного заряду в тій же точці.

Застосування теореми Гаусса.

1. Поле рівномірно зарядженої площини. Нехай поверхнева густина заряду дорівнює s. Із симетрії малюнку очевидно, що вектор може бути тільки перпендикулярним до зарядженої площини. Потік крізь бічну поверхню цього циліндра дорівнює нулю, і тому повний потік через усю поверхню циліндра буде 2EDS, де DS – площа кожного торця. Усередині циліндра знаходиться заряд sDS. Відповідно до теореми Гаусса 2ЕDS = sDS/e0, відкіля одержуємо:

.

2. Поле нескінченного круглого циліндра, зарядженого рівномірно по поверхні так, що на одиницю його довжини приходиться заряд l. Потік через бічну поверхню виділеного циліндра дорівнює . З огляду на те, що заряд усередині виділеної площі дорівнює , теорема Гаусса приймає вигляд: і напруженість поля при цьому дорівнює:

3. Поле сферичної поверхні радіуса R, що рівномірно заряджена зарядом q. Виділимо концентричну сферу радіусом r. Якщо r < R, то напруженість дорівнює нулю через відсутність зарядів усередині сфери. При r > R теорема Гаусса приймає вигляд: , відкіля одержуємо:

.

4. Поле рівномірне зарядженої кулі. Нехай об'ємна густина розподілу заряду r. Тоді при r < R теорема Гаусса має вигляд: . Враховуючи, що , остаточно одержуємо:

.

При r ³ R остання формула здобуває вигляд: .