Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Дом Евклидовы пространства. Определение и свойства
просмотров - 377

Опр. 12.1.V- линœейное пространство над R. Скалярным произведением V принято называть отображение (· ; ·) :V´V R, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ удовлетворяет следующим условиям: 1) ÎV ( ; )=( ; ) (условие симметричности),

2) ÎV ( + ; )=( ; )+( ; ), 3) ÎR ÎV ( ; )= ( ; ), 4) ÎV ( ; )>0 , если . Простанство V, в котором заданно скалярное достояние, принято называть Евклидовым пространством. В случае если dim RV=n, тогда записывают V=εn.

Пример 12.2.1) V2 со скалярным произведением , который изучался в курсе геометрии: когда = + , = + ( ; )= + является Евклидовым пространством. 2) С[a;b]- множество неразрывных на [a;b] функций. В случае если f, gÎС[a;b], обозначим (f, g)= . Проверьте, что на С[a;b] заданное скалярное произведение, таким образом, С[a;b]- евклидово пространство.

Св-во 12.3. В произвольной Евклидовом пространстве: 1) Îε ( ; )=( ; )= ;

2) Îε ( ; + )=( ; )+( ; ); 3) Îε ÎR ( ; )= ( ; ); 4) Îε, ÎR ( ; )= ( ; );

5) Îε ÎR ( ; )= ( ; ).

Доказ.1) ( ; )=( ;0 )=0( ; )=0 2) ( ; + )=( + ; )=( ; )+( ; )=( ; )+( ; )

3) ( ; )=( ; )= ( ; )= ( ; ). 4) ММІ па п. п=1 ( ; )= ( ; ) па 12.1.3.

п=2 ( + ; )=( ; )+( ; )= ( ; )+ ( ; ). В случае если справедливо для п, рассмотрим п+1. ( = )+( ; ) = ( ; )+ ( ; ) = ( ; ).

5) ( ; )= ( ; )= ( ; ) = ( ; )= ( ; ).■

Св-во 12.4. Пусть Е- Евклидово пространство, U – его линœейное подпространство, тогда U со скалярным произведением, определœенным на Е, явл. Евклидовым пространством.

Доказательство. Очевидно из определœения 12.1. ■