Краткие теоретические сведения

Дом Краткие теоретические сведения
просмотров - 381

1. Определения ограниченных множеств:

ограниченного сверху множества; ограниченного снизу множества; ограниченного множества:

1)множество называют ограниченным сверху, если $ число , такое что для выполняется неравенство ; число b принято называть в этом случае числом, ограничивающим сверху множество X;

2)множество называют ограниченным снизу, если $ число , такое что для выполняется неравенство ; число a принято называть в этом случае числом, ограничивающим снизу множество X;

3)множество, ограниченное сверху и снизу, принято называть ограниченным.

2. Определение неограниченных множеств:

1) неограниченное сверху множество - ϶ᴛᴏ множество X, не являющееся ограниченным сверху, то есть ;

2) неограниченное снизу множество - ϶ᴛᴏ множество X, не являющееся ограниченным снизу, то есть .

3) неограниченное множество - это множество, не являющееся ограниченным, т. е. неограниченное множество является неограниченным сверху или неограниченным снизу, или неограниченным и сверху и снизу.

3. Определения точной верхней грани и точной нижней грани множества: точной верхней грани множества; точной нижней грани множества

1) если множество ограничено сверху, то наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху это множество, называют точной верхней гранью множества (или просто верхней гранью) и обозначают: sup X ;

2) если множество ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу это множество, называют точной нижней гранью множества (или просто нижней гранью) и обозначают: inf X.

4. Определения экстремумов множества:

1) если точная верхняя грань множества X принадлежит этому множеству, то она принято называть максимумом множества и обозначается maxX;

2) если точная нижняя грань множества X принадлежит этому множеству, то она принято называть минимумом множества и обозначается minX;

3) максимум и минимум некоторого множества называются экстремумами этого множества.

Задача 1

Охарактеризуйте ограниченность следующих множеств, укажите их точные грани и экстремумы:

1) ; ;

; ;

2) ; ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Ответы:

1) A₁- ограниченое, ;

A₂- ограниченое, , maxA₂и minA₂ не существуют;

A₃-ограниченое, , , ;

A₄-ограниченое, , , ;

A₅-ограниченое, , , ;

A₆-ограниченое, , , ;

2) B₁-неогр., но огр. снизу, , , , ;

B₂-неогр., но ограничено снизу , , ;

3) C- ограниченное, , , ;

4)D-неогр., т.к. не явл.огр. ни сверху ни снизу, , ; и minD не сущ.;

5) X-неогр., но огр. сверху , , infX=-¥ , , minX не сущ. ;

6) Y-неогр., но огр. сверху, , , maxY=8, ;

7) T-огр., , , , ;

8) M-огр., , , minM не существует;

9) S-ограниченное, , , maxS и minS не существуют;

10) L- ограниченное, , , , .

Задания для домашнего выполнения

Задача1

1) ; ;

; ; ; ;

2) ; ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Ответы к задачам для домашнего выполнения

Задача1

1) A₁- ограниченное, , , , ;

A₂- ограниченное, , , minA₂=-10, maxA₂не сущ.;

A₃-ограниченое, , , , ;

A₄-ограниченое, , , , ;

A₅-неогр., т.к. не огр. ни сверху, ни снизу, , maxA₅ и minA₅ не сущ.;