Категории
Дом
Краткие теоретические сведения просмотров - 429
1. Перечень базовых глобальных характеристик числовой функции:
- ООФ и ОЗФ;
- нули и промежутки знакопостоянства функции;
- четность, нечетность функции;
- периодичность;
- промежутки монотонности функции;
- локальные экстремумы функции;
- наибольшее и наименьшее значение функции;
- ограниченность функции.
2. Нули и промежутки знакопостоянства функции :
- множество нулей функции: ;
- промежутки знакоположительности функции: ;
- промежутки знакоотрицательности функции: .
3. Четность, нечетность функции :
Функция принято называть четной, если выполняются два условия:
1) её ООФ симметрична относительно точки x=0,
2) f(-x) = f(x) при .
График четной функции имеет осевую симметрию относительно оси функции.
Функция принято называть нечетной, если выполняются два условия:
1) её ООФ симметрична относительно точки x=0,
2) f(-x) = -f(x) при .
График нечетной функции имеет центральную симметрию относительно начала координат.
4. Периодичность функции:
Функция принято называть периодической,если существует числоT>0, такое что выполняется равенство
при
ООФ.
Наименьшее из чисел T принято называть наименьшим периодом; любой промежуток длины T принято называть основным промежутком для периодической функции.
5. Промежутки монотонности функции:
Интервал принято называть промежутком монотонности функции
, если на этом промежутке функция только монотонно возрастает
или только монотонно убывает
.
Краткие определения монотонно возрастающей и монотонно убывающей функции:
при
, будет
;
при
, будет
.
6. Локальные экстремумы функции:
Локальные экстремумы функции - это есть локальные минимумы функции
и локальные максимумы функции
.
Локальный максимумфункции - это значение функции в точке максимума:
,
- точка max; локальный минимумфункции
- это значение функции в точке минимума:
,
- точка min.
Точка максимумафункции - это точка
ООФ, для которой можно указать окрестность
, такую что
при
; точка минимумафункции
- это точка
ООФ, для которой можно указать окрестность
, такую что
при
.
7. Наибольшее и наименьшее значения функции:
Наибольшим и наименьшим значениями функции называются экстремумы множества её значений:
,
.
8. Ограниченность функции:
Функция принято называть ограниченной, если ограничено множество Y её значений, при этом
.
9. Простейшие преобразования графика функции :
1) - сдвиг по оси аргумента на a единиц;
2) - сдвиг по оси функции на A единиц;
3) - сжатие по оси аргумента в a раз;
4) - растяжение по оси функции в A раз;
5) - зеркальное отражение относительно оси функции (изменение направления на оси аргумента);
6) - зеркальное отражение относительно оси аргумента (изменение направления на оси функции);
7) - функция всегда четная, график
,
остается на месте и симметрично относительно оси Oy отражается на
;
8) - функция принимает только неотрицательные значения; части графика
, на которой
, остаются на месте; части графика
, на которых
, отражаются симметрично относительно оси Ox.
10. Образ и прообраз множества при отображении заданной функцией:
В случае если задана функция и выделено множество
, то множество
принято называть образом множества E при отображении функцией
. При этом множество E принято называть прообразом множество G при том же отображении
.
Аудиторные задания
Задача 1
Для функции найдите множество нулей
, область положительности
и область отрицательности
:
1) 2)
; 3)
.
Ответы: 1)
2) ;
3) .
Задача 2
Функцию исследуйте на чётность:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
; 6)
;
7) ; 8)
; 9)
.
Ответы: 1) четная; 2) ни четная, ни нечетная; 3) нечетная;
4) ни четная, ни нечетная; 5) нечетная; 6) четная;
7) четная; 8) ни четная, ни нечетная; 9) ни четная, ни нечетная;
Задача 3
Постройте график заданной функции y = f(x) и опишите её глобальные характеристики; найдите множество , ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ является образом, заданного множества E при отображении y = f(x), и укажите, является ли отображение
биекцией:
1) 2)
3)
4) 5)
.
Ответы: 1)
биекцией не является;
2)
является биекцией;
3)
биекцией не является;
4)
является биекцией;
5)
биекцией не является.
Задания для домашнего выполнения
Задача 1
Функцию исследуйте на чётность:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
.
Задача 2
Постройте график периодической функции с указанным периодом T, которая задана формулой на основном промежутке длиной T:
1) ; 2)
; 3)
.
Задача 3
Постройте графики следующих функций и запишите их основные характеристики:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
;
5) .
Задача 4
Постройте графики следующих функций, используя простейшие преобразования графиков; в ответ запишите множество , если множество
задано; укажите, является ли отображение
биекцией:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
; 6)
;
7) .
Ответы к задачам для домашнего выполнения
Задача 1
1) ни четная, ни нечетная; 2) четная; 3) ни четная, ни нечетная; 4)нечетная; 5) нечетная.
Задача 2
1) | ![]() |
2) | ![]() |
3) | ![]() |
Задача 3
1)
![]() | ООФ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2)
![]() | ООФ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
3)
![]() | ООФ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
4)
![]() | ООФ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
5)
![]() | ООФ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
функция ни чет., ни нечет.; функция периодическая с наименьшим периодом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Задача 4
1) , отображение
является биекцией;
2) , отображение
не является биекцией;
3) , отображение
является биекцией;
4) , отображение
не является биекцией;
5) , отображение
является биекцией;
6) , отображение
не является биекцией;
7) , отображение
не является биекцией.
Занятие 10. Нахождение обратной функции
Цель занятия:
1) отработать полное решение задачи о нахождении функции, обратной к данной функции (существование, нахождение, график, ООФ, ОЗФ обеих функций);
2) провести консультирование по 0 варианту контрольной работы № 1
Читайте также
Использование результатов топографо-геодезических работ в инженерных целях существенно облегчается, если эти результаты отнесены к простейшей — прямоугольной системе координат на плоскости. В этой системе многие геодезические задачи на небольших участках местности и... [читать подробенее]
Решение главной геодезической задачи на поверхности эллипсоида Решение сферического треугольника по способу аддитаментов Идея способа аддитаментов заключается в том, что стороны сферического треугольника a,b,c исправляют поправками, в результате чего... [читать подробенее]
Длина дуги меридиана и параллели. Размеры рамок трапеций топографических карт Херсон-2005 Длина дуги меридиана SM между точками с широтами B1 и B2 определяется из решения эллиптического интеграла вида: (1.1) который, как... [читать подробенее]
1. Перечень основных глобальных характеристик числовой функции: - ООФ и ОЗФ; - нули и промежутки знакопостоянства функции; - четность, нечетность функции; - периодичность; - промежутки монотонности функции; - локальные экстремумы функции; - наибольшее и наименьшее... [читать подробенее]
Всего 11 занятий. Тема 1. Введение в математический анализ Занятие 1. Множества точек на координатной прямой. Занятие 2. Множества точек на координатной плоскости. Занятие 3. Начальный тест. Занятие 4. Ограниченность множеств. Занятие 5. Множества точек на... [читать подробенее]
1. Определения ограниченных множеств: ограниченного сверху множества; ограниченного снизу множества; ограниченного множества: 1)множество называют ограниченным сверху, если $ число , такое что для выполняется неравенство ; число b называется в этом случае числом,... [читать подробенее]
. Краткие теоретические сведения 1.Полярная система координат и полярные координаты точки: полярная система координат на плоскости включает в себя точку O, называемую полюсом, и направленный луч Op, называемый полярной осью; на полярной оси вводится масштабная... [читать подробенее]
1. Определение обратной функции: Если функция задает биективное отображение , то функция , называется обратной функцией к функции . Функции , и , называются взаимно обратными. 2. Графики взаимно обратных функций: Если у обратной функции переобозначить аргумент на x,... [читать подробенее]
Описание экспериментальной установки Опыт № 2. Исследование внецентренного растяжения длинных стержней Цель опыта 1. Экспериментальное определение распределения напряжений по высоте сечения бруса при внецентренном растяжении коротких стержней. 2.... [читать подробенее]
Рассматривается статически неопределимая рама (рис. 18). Задача 1 раз статически неопределима (четыре неизвестных реакции в шарнирно неподвижных опорах, можно составить три независимых уравнения равновесия). Решаем задачу методом сил. Каноническое... [читать подробенее]