Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Дом Краткие теоретические сведения
просмотров - 429

1. Перечень базовых глобальных характеристик числовой функции:

- ООФ и ОЗФ;

- нули и промежутки знакопостоянства функции;

- четность, нечетность функции;

- периодичность;

- промежутки монотонности функции;

- локальные экстремумы функции;

- наибольшее и наименьшее значение функции;

- ограниченность функции.

2. Нули и промежутки знакопостоянства функции :

- множество нулей функции: ;

- промежутки знакоположительности функции: ;

- промежутки знакоотрицательности функции: .

3. Четность, нечетность функции :

Функция принято называть четной, если выполняются два условия:

1) её ООФ симметрична относительно точки x=0,

2) f(-x) = f(x) при .

График четной функции имеет осœевую симметрию относительно оси функции.

Функция принято называть нечетной, если выполняются два условия:

1) её ООФ симметрична относительно точки x=0,

2) f(-x) = -f(x) при .

График нечетной функции имеет центральную симметрию относительно начала координат.

4. Периодичность функции:

Функция принято называть периодической,если существует числоT>0, такое что выполняется равенство при ООФ.

Наименьшее из чисел T принято называть наименьшим периодом; любой промежуток длины T принято называть основным промежутком для периодической функции.

5. Промежутки монотонности функции:

Интервал принято называть промежутком монотонности функции , если на этом промежутке функция только монотонно возрастает или только монотонно убывает .

Краткие определœения монотонно возрастающей и монотонно убывающей функции:

при , будет ;

при , будет .

6. Локальные экстремумы функции:

Локальные экстремумы функции - это есть локальные минимумы функции и локальные максимумы функции .

Локальный максимумфункции - это значение функции в точке максимума: , - точка max; локальный минимумфункции - это значение функции в точке минимума: , - точка min.

Точка максимумафункции - это точка ООФ, для которой можно указать окрестность , такую что при ; точка минимумафункции - это точка ООФ, для которой можно указать окрестность , такую что при .

7. Наибольшее и наименьшее значения функции:

Наибольшим и наименьшим значениями функции называются экстремумы множества её значений:

,

.

8. Ограниченность функции:

Функция принято называть ограниченной, если ограничено множество Y её значений, при этом .

9. Простейшие преобразования графика функции :

1) - сдвиг по оси аргумента на a единиц;

2) - сдвиг по оси функции на A единиц;

3) - сжатие по оси аргумента в a раз;

4) - растяжение по оси функции в A раз;

5) - зеркальное отражение относительно оси функции (изменение направления на оси аргумента);

6) - зеркальное отражение относительно оси аргумента (изменение направления на оси функции);

7) - функция всœегда четная, график , остается на месте и симметрично относительно оси Oy отражается на ;

8) - функция принимает только неотрицательные значения; части графика , на которой , остаются на месте; части графика , на которых , отражаются симметрично относительно оси Ox.

10. Образ и прообраз множества при отображении заданной функцией:

В случае если задана функция и выделœено множество , то множество принято называть образом множества E при отображении функцией . При этом множество E принято называть прообразом множество G при том же отображении .

Аудиторные задания

Задача 1

Для функции найдите множество нулей , область положительности и область отрицательности :

1) 2) ; 3) .

Ответы: 1)

2) ;

3) .

Задача 2

Функцию исследуйте на чётность:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Ответы: 1) четная; 2) ни четная, ни нечетная; 3) нечетная;

4) ни четная, ни нечетная; 5) нечетная; 6) четная;

7) четная; 8) ни четная, ни нечетная; 9) ни четная, ни нечетная;

Задача 3

Постройте график заданной функции y = f(x) и опишите её глобальные характеристики; найдите множество , ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ является образом, заданного множества E при отображении y = f(x), и укажите, является ли отображение биекцией:

1) 2) 3)

4) 5) .

Ответы: 1) биекцией не является;

2) является биекцией;

3) биекцией не является;

4) является биекцией;

5) биекцией не является.

Задания для домашнего выполнения

Задача 1

Функцию исследуйте на чётность:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Задача 2

Постройте график периодической функции с указанным периодом T, которая задана формулой на основном промежутке длиной T:

1) ; 2) ; 3) .

Задача 3

Постройте графики следующих функций и запишите их основные характеристики:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) .

Задача 4

Постройте графики следующих функций, используя простейшие преобразования графиков; в ответ запишите множество , если множество задано; укажите, является ли отображение биекцией:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

Ответы к задачам для домашнего выполнения

Задача 1

1) ни четная, ни нечетная; 2) четная; 3) ни четная, ни нечетная; 4)нечетная; 5) нечетная.

Задача 2

1)
2)
3)

Задача 3

1)

ООФ: ; ОЗФ: ; , , ; функция ни четная, ни нечетная, непериодическая; промежутки монотонности: при ; локальных экстремумов нет; , не ; , , функция не является ограниченной, но ограничена снизу.

2)

ООФ: ; ОЗФ: ; , , ; функция ни четная, ни нечетная, непериодическая; промежутки монотонности: при и при , при и при ; локальные экстремумы: при x=0 и при x=1, при ; не , ; , , функция не явл. огр., но огр. сверху.

3)

ООФ: ; ОЗФ: ; , , ; функция нечетная, непериодическая; промежутки монотонности: при ; локальных экстремумов нет; и не ; , , функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу.

4)

ООФ: ; ОЗФ: ; , , ; функция ни четная, ни нечетная, непериодическая; промежутки монотонности: при , при и при ; локальные экстремумы: при ; , не ; , , функция не является ограниченной, но ограничена снизу.

5)

ООФ: ; ОЗФ: ; , , ;  
функция ни чет., ни нечет.; функция периодическая с наименьшим периодом ; промежутки монот.: при , при ; локальные экстремумы: при ; , ; , , функция является ограниченной.

Задача 4

1) , отображение является биекцией;

2) , отображение не является биекцией;

3) , отображение является биекцией;

4) , отображение не является биекцией;

5) , отображение является биекцией;

6) , отображение не является биекцией;

7) , отображение не является биекцией.

Занятие 10. Нахождение обратной функции

Цель занятия:

1) отработать полное решение задачи о нахождении функции, обратной к данной функции (существование, нахождение, график, ООФ, ОЗФ обеих функций);

2) провести консультирование по 0 варианту контрольной работы № 1


Читайте также


  • - Краткие теоретические сведения

    Использование результатов топографо-геодезических работ в инженерных целях существенно облегчается, если эти результаты отнесены к простейшей — прямоугольной системе координат на плоскости. В этой системе многие геодезические задачи на небольших участках местности и... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    Решение главной геодезической задачи на поверхности эллипсоида Решение сферического треугольника по способу аддитаментов Идея способа аддитаментов заключается в том, что стороны сферического треугольника a,b,c исправляют поправками, в результате чего... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    Длина дуги меридиана и параллели. Размеры рамок трапеций топографических карт Херсон-2005 Длина дуги меридиана SM между точками с широтами B1 и B2 определяется из решения эллиптического интеграла вида: (1.1) который, как... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    1. Перечень основных глобальных характеристик числовой функции: - ООФ и ОЗФ; - нули и промежутки знакопостоянства функции; - четность, нечетность функции; - периодичность; - промежутки монотонности функции; - локальные экстремумы функции; - наибольшее и наименьшее... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    Всего 11 занятий. Тема 1. Введение в математический анализ Занятие 1. Множества точек на координатной прямой. Занятие 2. Множества точек на координатной плоскости. Занятие 3. Начальный тест. Занятие 4. Ограниченность множеств. Занятие 5. Множества точек на... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    1. Определения ограниченных множеств: ограниченного сверху множества; ограниченного снизу множества; ограниченного множества: 1)множество называют ограниченным сверху, если $ число , такое что для выполняется неравенство ; число b называется в этом случае числом,... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    . Краткие теоретические сведения 1.Полярная система координат и полярные координаты точки: полярная система координат на плоскости включает в себя точку O, называемую полюсом, и направленный луч Op, называемый полярной осью; на полярной оси вводится масштабная... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    1. Определение обратной функции: Если функция задает биективное отображение , то функция , называется обратной функцией к функции . Функции , и , называются взаимно обратными. 2. Графики взаимно обратных функций: Если у обратной функции переобозначить аргумент на x,... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    Описание экспериментальной установки Опыт № 2. Исследование внецентренного растяжения длинных стержней Цель опыта 1. Экспериментальное определение распределения напряжений по высоте сечения бруса при внецентренном растяжении коротких стержней. 2.... [читать подробенее]


  • - Краткие теоретические сведения

    Рассматривается статически неопределимая рама (рис. 18).     Задача 1 раз статически неопределима (четыре неизвестных реакции в шарнирно неподвижных опорах, можно составить три независимых уравнения равновесия). Решаем задачу методом сил. Каноническое... [читать подробенее]