Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Дом Определители
просмотров - 389

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителœем матрицы и обозначаемое

.

В определителœе различают главную диагональ (слева направо, сверху вниз) и побочную диагональ (слева направо, снизу вверх).

Определитель вычисляется методом разложения по ряду (строке или столбцу) путем сведения определителя -го порядка к линœейной комбинации определителœей -го порядка. Каждый новый определитель также сводится к вычислению определителœей меньшего – уже -го – порядка…. И так последовательно вычисление определителя любого порядка сведется к вычислению определителœей 2-го порядка.

Вычисление определителя 2-го порядка: , то есть от произведения чисел на главной диагонали вычитается произведение чисел на побочной диагонали.

Для вычисления определителя высокого порядка следует ввести понятие минора.Минором , соответствующим элементу называют определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Теперь в соответствии с правилом вычисления определителя

,

где первое выражение – разложение заданного определителя по -й строке, а второе – по -му столбцу. Способ выбора строки или столбца произволен, однако при устном вычислении проще выбирать тот ряд, где большее число нулевых элементов.

В частности, вычисление определителя 3-го порядка сводится к сумме шести произведений по три элемента͵ лежащих на разных строках и столбцах. Произведения берутся со знаком +, если эти три элемента лежат на главной диагонали или являются вершинами треугольника с основанием, параллельным главной диагонали. Произведения берутся со знаком -, если три элемента лежат на побочной диагонали или являются вершинами треугольника с основанием, параллельным побочной диагонали:

,

Можно вычислять определитель третьего порядка также следующим способом: присоединим к исходной матрице снизу две ее первых строки и пройдем по направлениям главной диагонали, перемножая стоящие на соответствующих прямых три элемента и складывая со знаком +, затем пройдем по направлениям побочной диагонали, перемножая стоящие на соответствующих прямых три элемента и складывая со знаком – .

Правила вычисления основаны на следующих свойствах определителœей.

1. При перестановке двух строк или двух столбцов знак определителя меняется на противоположный:

.

2. Из строки или столбца можно выносить общий множитель за знак определителя:.

3. В случае если каждый элемент строки (столбца) представим в виде суммы, то такой определитель равен сумме двух определителœей, у которых в этой строке (столбце) стоят соответствующие слагаемые:

.

Из представленных свойств следуют новые свойства:

4. Определитель с двумя строками (столбцами), отличающимися коэффициентом, равен нулю.

5. Определитель, у которого есть строка (столбец), представляющая линœейную комбинацию других строк (столбцов), равен нулю.

6. В случае если заменить в определителœе строки на столбцы, а столбцы на строки – данный процесс принято называть транспонированием и представляет зеркальное отражение определителя относительно главной диагонали – определитель не изменится.

Современные компьютерные средства позволяют мгновенно вычислять различные действия с матрицей. К примеру, пакет программ MAXIMA дает возможность вводить матрицу, а затем вычислять ее определитель.

matr.wxm


Читайте также


  • - ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

    1. Вычислить определители а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) . 2. С помощью правила треугольников вычислить определители а) ; б) ; в) ; г) . 3. Вычислить определители примера 2, используя теорему Лапласа. 4. Вычислить определители, предварительно упростив их: а) ; б) ; в) ; г) ; д)... [читать подробенее]


  • - Определители

    Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем матрицы и обозначаемое . В определителе различают главную диагональ (слева направо, сверху вниз) и побочную диагональ (слева направо, снизу вверх). Определитель вычисляется... [читать подробенее]


  • - Определители произвольного порядка

    Задачи для самостоятельного решения Определители третьего порядка Определителем третьего порядка называется число, которое может быть вычислено по следующему правилу (правило Саррюса): к определителю справа приписывается первый и второй столбцы и... [читать подробенее]


  • - Определители второго порядка

    ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ВВЕДЕНИЕ Настоящие методические указания предназначены для студентов всех специальностей и направлений бакалаврской подготовки заочной формы обучения, выполняющих расчетно-графическую работу по линейной алгебре, аналитической... [читать подробенее]


  • - Определители 3-го и n-го порядков

    Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. 11Х1 +12Х2 + 13Х3 = b1 21Х1 +22Х2 + 23Х3 = b2 (1) 31Х1 +32Х2 + 33Х3 = b3 Матрицу этой системы обозначим А А= Исключим Х2 и Х3 из системы (1). Для этого первое уравнение умножим на , второе уравнение умножим на , третье... [читать подробенее]


  • - МЕТА-определители

    Ссылки на файловые объекты Ссылки на адрес электронной почты Ссылки на разделы Ссылки на документы Гиперссылки Разделители Таблицы Списки Бегущая строка Тег для создания бегущей строки: <MARQUEE> текст </MARQUEE> Он может содержать... [читать подробенее]


  • - МЕТА - определители

    Ссылки на файловые объекты Ссылки на адрес электронной почты Ссылки на разделы Ссылки на документы Гиперссылки Разделители Таблицы Списки Бегущая строка Тег для создания бегущей строки: <MARQUEE> текст </MARQUEE> Он может... [читать подробенее]


  • - Тема 2.1. Матрицы и определители

    ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицейразмера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на... [читать подробенее]


  • - Определители.

    Определителемназывается квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам. Пример 24. Если , то . Так . Если , то . Так . Если , то . Так . При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся... [читать подробенее]


  • - Определители

    Каждой квадратной матрице может быть поставлено в соответствие некоторое число, вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов матрицы. Такое число называют определителем (или детерминантом) матрицы и обозначают символом или . При этом порядком определителя... [читать подробенее]